Considere um computador ou outra máquina digital hipotética que opere \operatorname{com} \beta=10 ; \quad t=4 e expoente de 1 algarismo, operando com truncamento. Obtenha o resultado das seguintes operações:
\left(0,400 \times 10^{4}\right) \times\left(0,0000001 \times 10^{4}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá uma máquina com base \beta=10, precisão t=4 algarismos na mantissa, expoente com 1 algarismo e aritmética por truncamento. Pede-se o resultado da multiplicação
\left(0,400 \times 10^{4}\right)\times\left(0,0000001 \times 10^{4}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • base: \beta=10;
  • número de dígitos significativos (mantissa): t=4;
  • modo de arredondamento: truncamento (ou seja, despreza dígitos além dos t primeiros, sem arredondar);
  • os dois fatores são apresentados na forma m\times10^{e}: m_1=0,400, e_1=4; m_2=0,0000001, e_2=4.
    O objetivo é obter o resultado segundo a aritmética da máquina (normalização da mantissa, multiplicação, truncamento e representação final).

Passo 2

Breve explicação do procedimento de multiplicação em ponto flutuante (passo a passo que vamos aplicar):
  • Cada número deve estar em forma normalizada: mantissa m tal que 0,1 \le m <1 (base 10), com exatamente t dígitos significativos (completar com zeros à direita se necessário).
  • Para multiplicar dois números representados por (m_1\times10^{e_1}) e (m_2\times10^{e_2}):
    1. Multiplica-se as mantissas exatamente: m_1\cdot m_2.
    2. Soma-se os expoentes: e = e_1+e_2.
    3. Normaliza-se o produto das mantissas (se necessário), ajustando o expoente.
    4. Aplica-se o truncamento à mantissa para deixar apenas t dígitos significativos.
    5. Verifica-se se o expoente cabe no intervalo permitido (aqui não haverá problema).
  • Truncamento: retirar todos os dígitos após os t primeiros da mantissa (sem arredondar).

Passo 3

Normalizar os operandos e escrever com t=4 dígitos:
  • Primeiro fator: 0,400\times10^{4} já tem a mantissa no intervalo [0,1) e o primeiro dígito não nulo é 4, então está normalizado. Completa-se para t=4 dígitos:
m_1 = 0,4000,\qquad e_1=4.
  • Segundo fator: 0,0000001\times10^{4}. Primeiro transformar a mantissa para a forma normalizada. Observa-se que 0,0000001 = 1\times10^{-7}. Escrever como mantissa normalizada com 4 dígitos:
1\times10^{-7} = 0,1000\times10^{-6}.
Multiplicando pelo 10^{4} que já vinha no enunciado:
(0,0000001\times10^{4}) = (0,1000\times10^{-6})\times10^{4} = 0,1000\times10^{-2}.
Portanto, para a máquina:
m_2 = 0,1000,\qquad e_2=-2.

Passo 4

Multiplicar mantissas e somar expoentes (faça-se exatamente antes do truncamento):
  • Produto exato das mantissas (usando as 4 dígitos que colocamos):
m_1\cdot m_2 = 0,4000 \times 0,1000 = 0,04000000.
  • Soma dos expoentes:
e = e_1 + e_2 = 4 + (-2) = 2.
Logo, o produto exato (antes de normalizar) é
0,04000000 \times 10^{2}.

Passo 5

Normalização do resultado e truncamento:
  • A mantissa 0,04000000 não está normalizada porque é menor que 0,1. Normaliza-se deslocando a vírgula um lugar à direita:
0,04000000 = 0,4000000 \times 10^{-1}.
  • Ajustando o expoente:
0,04000000 \times 10^{2} = (0,4000000 \times 10^{-1}) \times 10^{2} = 0,4000000 \times 10^{1}.
  • Agora aplicar truncamento para t=4 dígitos: manter os quatro primeiros dígitos da mantissa e truncar o que vem depois. A mantissa passa a ser 0,4000.
  • Resultado final na máquina:
0,4000 \times 10^{1}.
Também vale notar (para confiança): 0,4000\times10^{1} = 0,4000\cdot10 = 4,000, que coincide com o resultado exato da multiplicação dos valores reais (sem perda neste caso).

Passo 6

Interpretação e observações finais rápidas (estímulo): portanto, mesmo com truncamento e com os passos de normalização, nesta operação não houve perda de ordem de grandeza: a máquina representa o produto como \,0,4000\times10^{1}\,, que é equivalente a 4. Boa — você conseguiu! Continua assim que tá indo bem!

Resposta

0,4000 \times 10^{1}

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