Considere um computador ou outra máquina digital hipotética que opere
e expoente de 1 algarismo, operando com truncamento. Obtenha o resultado das seguintes operações:
Passo 1
O enunciado nos dá uma máquina com base
, precisão
algarismos na mantissa, expoente com 1 algarismo e aritmética por truncamento. Pede-se o resultado da multiplicação
Informações relevantes fornecidas:
- base:
; - número de dígitos significativos (mantissa):
; - modo de arredondamento: truncamento (ou seja, despreza dígitos além dos
primeiros, sem arredondar); - os dois fatores são apresentados na forma
: , ; , .
O objetivo é obter o resultado segundo a aritmética da máquina (normalização da mantissa, multiplicação, truncamento e representação final).
Passo 2
Breve explicação do procedimento de multiplicação em ponto flutuante (passo a passo que vamos aplicar):
- Cada número deve estar em forma normalizada: mantissa
tal que (base 10), com exatamente dígitos significativos (completar com zeros à direita se necessário). - Para multiplicar dois números representados por
e : - Multiplica-se as mantissas exatamente:
. - Soma-se os expoentes:
. - Normaliza-se o produto das mantissas (se necessário), ajustando o expoente.
- Aplica-se o truncamento à mantissa para deixar apenas
dígitos significativos. - Verifica-se se o expoente cabe no intervalo permitido (aqui não haverá problema).
- Multiplica-se as mantissas exatamente:
- Truncamento: retirar todos os dígitos após os
primeiros da mantissa (sem arredondar).
Passo 3
Normalizar os operandos e escrever com
dígitos:
- Primeiro fator:
já tem a mantissa no intervalo e o primeiro dígito não nulo é , então está normalizado. Completa-se para dígitos:
- Segundo fator:
. Primeiro transformar a mantissa para a forma normalizada. Observa-se que . Escrever como mantissa normalizada com 4 dígitos:
Multiplicando pelo
que já vinha no enunciado:
Portanto, para a máquina:
Passo 4
Multiplicar mantissas e somar expoentes (faça-se exatamente antes do truncamento):
- Produto exato das mantissas (usando as 4 dígitos que colocamos):
- Soma dos expoentes:
Logo, o produto exato (antes de normalizar) é
Passo 5
Normalização do resultado e truncamento:
- A mantissa
não está normalizada porque é menor que . Normaliza-se deslocando a vírgula um lugar à direita:
- Ajustando o expoente:
- Agora aplicar truncamento para
dígitos: manter os quatro primeiros dígitos da mantissa e truncar o que vem depois. A mantissa passa a ser . - Resultado final na máquina:
Também vale notar (para confiança):
, que coincide com o resultado exato da multiplicação dos valores reais (sem perda neste caso).
Passo 6
Interpretação e observações finais rápidas (estímulo): portanto, mesmo com truncamento e com os passos de normalização, nesta operação não houve perda de ordem de grandeza: a máquina representa o produto como
, que é equivalente a
. Boa — você conseguiu! Continua assim que tá indo bem!