Considere a condução de calor numa barra de 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura 0^{\circ} \mathrm{C} para todo t>0. Encontrar a temperatura u(x, t) se a difusividade térmica da barra é k=1 e a temperatura inicial é:
u(x, 0)=\left\{\begin{array}{cc}0, & \text { se } 0 \leqslant x<10, \\\\ 50, & \text { se } 10 \leqslant x \leqslant 30, \\\\ 0, & \text { se } 30<x \leqslant 40 .\end{array}\right.

Passo 1

O problema é a condução de calor numa barra de comprimento L=40 cm com difusividade térmica k=1, sujeita às condições de contorno
u(0,t)=0,\quad u(40,t)=0\quad(t>0)
e condição inicial
u(x,0)= \begin{cases} 0, & 0\le x<10,\\\\ 50, & 10\le x\le30,\\\\ 0, & 30<x\le40. \end{cases}
Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em série de senos (série de Fourier).

Passo 2

Pela teoria de separação de variáveis, a solução geral que satisfaz as condições de contorno homogêneas é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\, \exp\!\bigl[-\bigl(\tfrac{n\pi}{40}\bigr)^{2}t\bigr].

Passo 3

Os coeficientes B_{n} vêm da expansão da condição inicial em senos:
B_{n} =\frac{2}{40}\int_{0}^{40}u(x,0)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\,dx =\frac{1}{20}\int_{10}^{30}50\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\,dx,
pois u(x,0)=50 só em 10\le x\le30.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{10}^{30}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\,dx =\Bigl[-\tfrac{40}{n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\Bigr]_{10}^{30} =\frac{40}{n\pi}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\bigr)\Bigr].
Então
B_{n} =\frac{50}{20}\cdot\frac{40}{n\pi}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\bigr)\Bigr] =\frac{100}{n\pi}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\bigr)\Bigr].

Passo 5

Podemos ainda usar a identidade trigonométrica
\cos a - \cos b = -2\sin\!\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{a-b}{2}\bigr)
com a=\tfrac{n\pi}{4}, b=\tfrac{3n\pi}{4} para escrever
\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\bigr) =2\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr),
ficando
B_{n} =\frac{200}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{100}{n\pi}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{3n\pi}{4}\bigr)\Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr) \exp\!\Bigl[-\bigl(\tfrac{n\pi}{40}\bigr)^{2}t\Bigr],
ou equivalentemente
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{200}{n\pi}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr) \exp\!\Bigl[-\bigl(\tfrac{n\pi}{40}\bigr)^{2}t\Bigr].

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