1. Dadas as funções f(x)=2 x^{3}+3 x^{2}-36 x e g(x)=4 x^{3}+3 x^{2}-6 x+1, faça o que se pede:
    a) Encontre os intervalos nos quais f e g são crescentes ou decrescentes.
    b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f e g.
    c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

Temos as funções
f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x
e
g(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x + 1.
O que pedem é: (a) intervalos de crescimento e decrescimento (usando a derivada primeira), (b) valores dos extremos locais (identificando máximos e mínimos pela variação do sinal de f' e g'), e (c) concavidade e pontos de inflexão (usando a derivada segunda).

Passo 2

Derivamos f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x^3 + 3x^2 - 36x\bigr) = 6x^2 + 6x - 36 = 6\,(x-2)(x+3).
As raízes são x=-3 e x=2.
Para x<-3, ambos x-2<0 e x+3<0 \Rightarrow f'>0.
Para -3<x<2, x-2<0, x+3>0 \Rightarrow f'<0.
Para x>2, ambos positivos \Rightarrow f'>0.

Passo 3

Como f' muda de positivo para negativo em x=-3, há máximo local em x=-3.
f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = -54 +27 +108 = 81.
Como f' muda de negativo para positivo em x=2, há mínimo local em x=2.
f(2) = 2\cdot8 + 3\cdot4 -36\cdot2 = 16 +12 -72 = -44.

Passo 4

Derivando de novo para concavidade:
f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x -36) = 12x + 6.
Solução de f''(x)=0 é x = -\tfrac12.
Para x<-\tfrac12, f''<0 \Rightarrow concavidade para baixo.
Para x>-\tfrac12, f''>0 \Rightarrow concavidade para cima.
Ponto de inflexão em x=-\tfrac12, com
f\bigl(-\tfrac12\bigr) = 2\bigl(-\tfrac12\bigr)^3 + 3\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 -36\bigl(-\tfrac12\bigr) = -\tfrac14 + \tfrac34 + 18 = \tfrac{37}{2}.

Passo 5

Derivamos g:
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4x^3 + 3x^2 -6x +1\bigr) = 12x^2 + 6x -6 = 6\,(2x-1)(x+1).
As raízes são x=-1 e x=\tfrac12.
Para x<-1, ambos 2x-1<0 e x+1<0 \Rightarrow g'>0.
Para -1<x<\tfrac12, 2x-1<0, x+1>0 \Rightarrow g'<0.
Para x>\tfrac12, ambos positivos \Rightarrow g'>0.

Passo 6

Em x=-1 ocorre mudança de g'>0 para g'<0, logo máximo local:
g(-1) = 4(-1)^3 + 3(-1)^2 -6(-1) +1 = -4 +3 +6 +1 = 6.
Em x=\tfrac12 ocorre mudança de g'<0 para g'>0, logo mínimo local:
g\bigl(\tfrac12\bigr) =4\cdot\tfrac18 + 3\cdot\tfrac14 -6\cdot\tfrac12 +1 = \tfrac12 + \tfrac34 -3 +1 = -\tfrac34.

Passo 7

Derivada segunda de g:
g''(x) = \frac{d}{dx}(12x^2 + 6x -6) = 24x + 6.
Solução de g''(x)=0 é x = -\tfrac14.
Para x<-\tfrac14, g''<0 \Rightarrow concavidade para baixo.
Para x>-\tfrac14, g''>0 \Rightarrow concavidade para cima.
Ponto de inflexão em x=-\tfrac14, com
g\bigl(-\tfrac14\bigr) =4\bigl(-\tfrac14\bigr)^3 +3\bigl(-\tfrac14\bigr)^2 -6\bigl(-\tfrac14\bigr)+1 = -\tfrac{1}{16} + \tfrac{3}{16} + \tfrac{6}{4} +1 = \tfrac{2}{16} + \tfrac{6}{4} +1 = \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{2} +1 = \tfrac{21}{8}.

Resposta

a)
f é crescente em (-\infty, -3)\cup(2, +\infty) e decrescente em (-3,2).
g é crescente em (-\infty, -1)\cup\bigl(\tfrac12, +\infty\bigr) e decrescente em (-1,\tfrac12).
b)
Para f: máximo local f(-3)=81, mínimo local f(2)=-44.
Para g: máximo local g(-1)=6, mínimo local g(\tfrac12)=-\tfrac34.
c)
f é côncava para baixo em (-\infty,-\tfrac12), côncava para cima em (-\tfrac12,+\infty), com ponto de inflexão \bigl(-\tfrac12,\tfrac{37}{2}\bigr).
g é côncava para baixo em (-\infty,-\tfrac14), côncava para cima em (-\tfrac14,+\infty), com ponto de inflexão \bigl(-\tfrac14,\tfrac{21}{8}\bigr).

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