- Dadas as funções
e
, faça o que se pede:
a) Encontre os intervalos nos quais
e
são crescentes ou decrescentes.
b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
e
.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
a) Encontre os intervalos nos quais
b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
Temos as funções
e
O que pedem é: (a) intervalos de crescimento e decrescimento (usando a derivada primeira), (b) valores dos extremos locais (identificando máximos e mínimos pela variação do sinal de
e
), e (c) concavidade e pontos de inflexão (usando a derivada segunda).
Passo 2
Derivamos
:
As raízes são
e
.
Para , ambos
e
.
Para ,
,
.
Para , ambos positivos
.
Para
Para
Para
Passo 3
Como
muda de positivo para negativo em
, há máximo local em
.
Como
muda de negativo para positivo em
, há mínimo local em
.
Passo 4
Derivando de novo para concavidade:
Solução de
é
.
Para ,
concavidade para baixo.
Para ,
concavidade para cima.
Ponto de inflexão em , com
Para
Para
Ponto de inflexão em
Passo 5
Derivamos
:
As raízes são
e
.
Para , ambos
e
.
Para ,
,
.
Para , ambos positivos
.
Para
Para
Para
Passo 6
Em
ocorre mudança de
para
, logo máximo local:
Em
ocorre mudança de
para
, logo mínimo local:
Passo 7
Derivada segunda de
:
Solução de
é
.
Para ,
concavidade para baixo.
Para ,
concavidade para cima.
Ponto de inflexão em , com
Para
Para
Ponto de inflexão em
Resposta
a)
f é crescente em e decrescente em
.
g é crescente em e decrescente em
.
f é crescente em
g é crescente em
b)
Para f: máximo local , mínimo local
.
Para g: máximo local , mínimo local
.
Para f: máximo local
Para g: máximo local
c)
f é côncava para baixo em , côncava para cima em
, com ponto de inflexão
.
g é côncava para baixo em , côncava para cima em
, com ponto de inflexão
.
f é côncava para baixo em
g é côncava para baixo em