Questão: (1,0 ponto) Encontre a solução geral da equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
O conteúdo principal é resolução de equação linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar a redução de ordem pela substituição
transformando em uma equação de primeira ordem para
. Precisaremos também do método do fator integrante e de integrais de funções elementares e de
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea
. Com
temos
que é linear homogênea de primeira ordem. O fator integrante é
, mas para a homogênea basta separar variáveis:
Integramos
para obter a solução homogênea de
:
Passo 3
Agora tratamos a não homogeneidade na equação para
:
Multiplicamos por
(fator integrante) e obtemos
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por
resulta
Passo 4
Integramos
para encontrar
:
O termo
é uma solução particular e os termos com constantes
e
recobrem a solução homogênea.
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.