1^{\underline{a}} Questão: (1,0 ponto) Encontre a solução geral da equação diferencial
y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=12 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - x\,y' = 12x^3.
O conteúdo principal é resolução de equação linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar a redução de ordem pela substituição
u = y',
transformando em uma equação de primeira ordem para u. Precisaremos também do método do fator integrante e de integrais de funções elementares e de e^{x^2/2}.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea y'' - x\,y'=0. Com u=y' temos
u' - x\,u = 0,
que é linear homogênea de primeira ordem. O fator integrante é e^{-\int x\,dx}=e^{-x^2/2}, mas para a homogênea basta separar variáveis:
\frac{u'}{u}=x \quad\Longrightarrow\quad \ln|u|=\tfrac{x^2}{2}+C \quad\Longrightarrow\quad u=C_1e^{x^2/2}.
Integramos u=y' para obter a solução homogênea de y:
y_h = C_1\int e^{x^2/2}\,dx + C_2.

Passo 3

Agora tratamos a não homogeneidade na equação para u:
u' - x\,u = 12x^3.
Multiplicamos por e^{-x^2/2} (fator integrante) e obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-x^2/2}\bigr) =12x^3e^{-x^2/2}.
Integramos ambos os lados:
u\,e^{-x^2/2} =\int 12x^3e^{-x^2/2}\,dx =-12(x^2+2)e^{-x^2/2}+K.
Multiplicando por e^{x^2/2} resulta
u = y' = -12(x^2+2) + K e^{x^2/2}.

Passo 4

Integramos y' para encontrar y:
y = \int\bigl[-12(x^2+2)\bigr]\,dx +K\int e^{x^2/2}\,dx + C_2 = -4x^3 -24x + K\int e^{x^2/2}\,dx + C_2.
O termo -4x^3-24x é uma solução particular e os termos com constantes K e C_2 recobrem a solução homogênea.

Resposta

y(x) = -4x^3 -24x + C_1\int_{0}^{x}e^{t^2/2}\,dt + C_2,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados