Reescreva a integral dupla com a ordem de integração invertida
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo é geometria de domínio no plano
: devemos descrever a região
e depois reescrever
como
Passo 2
Vamos entender as curvas que limitam
:
— A reta , que para
varia
de
a
.
— A parábola invertida , que para
varia
de
a
, com vértice em
.
Elas se intersectam em
— A reta
— A parábola invertida
Elas se intersectam em
mas apenas
pertence a
, dando o ponto de interseção
.
Passo 3
Determinar a projeção de
no eixo
:
— O menor ocorre em
, i.e.\
.
— O maior ocorre no vértice da parábola, i.e.\
.
Logo, ao inverter, teremos variando de
até
.
— O menor
— O maior
Logo, ao inverter, teremos
Passo 4
Para um
fixo em
, os valores de
devem satisfazer simultaneamente
e
Assim, para cada
,
varia no intervalo
Passo 5
Precisamos ver quando
ultrapassa
. Resolvendo
dá
(descartamos
porque não está em
).
– Para temos
, logo
– Para
– Para
temos
, logo
Passo 6
Reescrevendo a integral com a ordem trocada e mantendo o integrando
, obtemos a soma de duas integrais em
: