Reescreva a integral dupla com a ordem de integração invertida
\int_{-1}^{1} \int_{x-1}^{1-x^{2}} e^{\sqrt{x^{2}+x^{2}}} d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{-1}^{1}\int_{x-1}^{\,1 - x^{2}}e^{\sqrt{x^{2}+x^{2}}}\,dy\,dx
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo é geometria de domínio no plano (x,y): devemos descrever a região
D=\{(x,y)\mid -1\le x\le1,\;x-1\le y\le1-x^{2}\}
e depois reescrever
\iint_{D}e^{\sqrt{2\,x^{2}}}\,dA
como
\int_{y=\text{(min)}}^{y=\text{(max)}}\!\int_{x=\text{(função de }y)}^{x=\text{(outra função de }y)} e^{\sqrt{2\,x^{2}}}\,dx\,dy.çãçã

Passo 2

Vamos entender as curvas que limitam D:
— A reta y = x - 1, que para x\in[-1,1] varia y de -2 a 0.
— A parábola invertida y = 1 - x^{2}, que para x\in[-1,1] varia y de 0 a 1, com vértice em (0,1).
Elas se intersectam em
x-1 = 1 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1\text{ ou }x=2,
mas apenas x=-1 pertence a [-1,1], dando o ponto de interseção (-1,-2).

Passo 3

Determinar a projeção de D no eixo y:
— O menor y ocorre em (-1,-2), i.e.\ \min y=-2.
— O maior y ocorre no vértice da parábola, i.e.\ \max y=1.
Logo, ao inverter, teremos y variando de -2 até 1.

Passo 4

Para um y fixo em [-2,1], os valores de x devem satisfazer simultaneamente
y \ge x-1 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le y+1,
e
y \le 1 - x^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 1-y \quad\Longleftrightarrow\quad -\sqrt{1-y}\;\le x\;\le \sqrt{1-y}.
Assim, para cada y, x varia no intervalo
x\in\bigl[-\sqrt{1-y},\,\min\{\,\sqrt{1-y},\,y+1\}\bigr].

Passo 5

Precisamos ver quando y+1 ultrapassa \sqrt{1-y}. Resolvendo
y+1 = \sqrt{1-y} \quad\Longrightarrow\quad (y+1)^{2}=1-y \quad\Longrightarrow\quad y(y+3)=0
y=0 (descartamos y=-3 porque não está em [-2,1]).
– Para -2\le y\le0 temos y+1\le\sqrt{1-y}, logo
x\in\bigl[-\sqrt{1-y},\,y+1\bigr].
– Para 0\le y\le1 temos y+1\ge\sqrt{1-y}, logo
x\in\bigl[-\sqrt{1-y},\,\sqrt{1-y}\bigr].

Passo 6

Reescrevendo a integral com a ordem trocada e mantendo o integrando e^{\sqrt{x^{2}+x^{2}}}=e^{\sqrt{2x^{2}}}, obtemos a soma de duas integrais em y:
\int_{y=-2}^{0}\!\int_{x=-\sqrt{1-y}}^{\,y+1}e^{\sqrt{2\,x^{2}}}\,dx\,dy \;+\; \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=-\sqrt{1-y}}^{\,\sqrt{1-y}}e^{\sqrt{2\,x^{2}}}\,dx\,dy.

Resposta

\int_{-2}^{0}\int_{-\sqrt{1-y}}^{\,y+1}e^{\sqrt{2\,x^{2}}}\,dx\,dy \;+\; \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{1-y}}^{\,\sqrt{1-y}}e^{\sqrt{2\,x^{2}}}\,dx\,dy.

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