Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação de temperatura no interior da parede para os seguintes pares de condição de contorno:
-k \frac{d T(0)}{d x}=\dot{q}_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2} e T(0)=T_{0}=15^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar
Temos condução de calor unidimensional permanente numa placa de espessura L, condutividade k constante e sem geração interna. A equação diferencial que descreve o perfil de temperatura é
\frac{d^2 T}{dx^2} = 0.
As condições de contorno (caso (a)) são
-\,k\,\frac{dT}{dx}\bigg|_{x=0} = \dot q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^2} \quad\text{e}\quad T(0)=T_{0}=15\\ ^\circ\mathrm{C}.
Vamos integrar a equação até obter T(x) e então aplicar essas duas condições para fixar as constantes de integração.

Passo 2

Obtenção da solução geral da equação diferencial
Integrando \tfrac{d^2 T}{dx^2}=0 uma vez, obtemos
\frac{dT}{dx} = A,
onde A é constante. Integrando de novo,
T(x) = A\,x + B,
com B outra constante de integração.

Passo 3

Aplicação da condição de contorno de fluxo em x=0
A condição -k\,\bigl.\tfrac{dT}{dx}\bigr|_{x=0}=\dot q_{0}
-\,k\,A = \dot q_{0} \quad\Longrightarrow\quad A = -\,\frac{\dot q_{0}}{k}.

Passo 4

Aplicação da condição de contorno de temperatura em x=0
A condição T(0)=T_{0} implica
T(0) = A\cdot 0 + B = B = T_{0}.

Passo 5

Montagem da solução final
Substituindo A e B em T(x)=A\,x+B, obtemos
T(x) = T_{0} \;-\;\frac{\dot q_{0}}{k}\,x.

Resposta

T(x) = 15\\ ^\circ\mathrm{C} \;-\; \frac{40\\ \mathrm{W/cm^2}}{k}\;x.

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