Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação de temperatura no interior da parede para os seguintes pares de condição de contorno:
-k \frac{d T(0)}{d x}=\dot{q}_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2} e -k \frac{d T(L)}{d x}=\dot{q}_{L}=\dot{q}_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2}

Passo 1

Temos condução de calor unidimensional em regime permanente, sem geração interna e com condutividade térmica constante k. O domínio é 0\le x\le L. A equação diferencial que governa o perfil de temperatura é
\frac{d^2T}{dx^2}=0.

Passo 2

Integramos uma vez a equação \frac{d^2T}{dx^2}=0 para obter
T(x)=A\,x + B,
onde A e B são constantes de integração a determinar pelas condições de contorno.

Passo 3

A condição de contorno em x=0 é
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=\dot q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^2}.
Como \frac{dT}{dx}=A, isso dá
-k\,A = \dot q_{0} \quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{\dot q_{0}}{k}\,.

Passo 4

A condição em x=L é
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L}=\dot q_{L}=\dot q_{0}=40\\ \mathrm{W/cm^2}.
Mas \frac{dT}{dx}=A é constante, logo
-k\,A=\dot q_{L} \quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{\dot q_{L}}{k}
e como \dot q_{L}=\dot q_{0}, não há contradição.

Passo 5

Substituindo A em T(x)=A\,x+B, obtemos
T(x)=B \;-\;\frac{\dot q_{0}}{k}\,x.
Como não foi dada nenhuma temperatura de referência, B permanece como uma constante arbitrária que corresponde a T(0).

Resposta

\boxed{T(x)=T(0)\;-\;\frac{40\\ \mathrm{W/cm^2}}{k}\;x,}
onde T(0)=B é a temperatura na face x=0.

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