Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante k, sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação de temperatura no interior da parede para os seguintes pares de condição de contorno:
-k \frac{d T(0)}{d x}=\dot{q}_{0}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2} e -k \frac{d T(L)}{d x}=\dot{q}_{L}=-25 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2}

Passo 1

Resumo do enunciado e equação de base
Temos condução de calor permanente unidimensional, sem geração, em uma parede de espessura L e condutividade k. A equação de energia reduz-se a
\frac{d^2T}{dx^2}=0.
Queremos T(x) sujeita às condições de contorno puramente de fluxo
-k\,T'(0)=\dot q_{0}=40\;\mathrm{W/cm}^2 \quad\text{e}\quad -k\,T'(L)=\dot q_{L}=-25\;\mathrm{W/cm}^2.

Passo 2

Integração da equação diferencial
Integrando \frac{d^2T}{dx^2}=0 duas vezes obtemos
T(x)=A\,x + B,
onde A e B são constantes de integração a determinar.

Passo 3

Aplicação das condições de contorno de fluxo
As duas condições de fluxo dão
-k\,T'(0)=-k\,A=\dot q_0 \quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{\dot q_0}{k},
-k\,T'(L)=-k\,A=\dot q_L \quad\Longrightarrow\quad A=-\frac{\dot q_L}{k}.
Para existir solução única é necessário
-\frac{\dot q_0}{k}=-\frac{\dot q_L}{k} \quad\Longrightarrow\quad \dot q_0=\dot q_L,
o que não ocorre aqui 40\neq -25.

Passo 4

Conclusão sobre a constante e forma geral de T(x)
  1. Como as duas condições de fluxo só fixam a mesma constante A, sobra uma constante livre B.
  2. Se quisermos usar apenas a condição em x=0, temos
A=-\frac{\dot q_0}{k}=-\frac{40}{k},
logo a família de soluções é
T(x)=-\frac{40}{k}\,x + B,
onde B=T(0) fica indeterminado (qualquer valor arbitrário de referência).
Alternativamente, usando só o fluxo em x=L (e tomando como referência T(L)),
A=-\frac{\dot q_L}{k}=-\frac{-25}{k}=\frac{25}{k},
e
T(x)=\frac{25}{k}(x-L)+T(L).

Resposta

\boxed{T(x)=-\frac{40}{k}\,x + T(0),\quad T(0)\\ \text{arbitrário}.}á
ou, numa outra referência,
\boxed{T(x)=\frac{25}{k}\,(x-L)+T(L),\quad T(L)\\ \text{arbitrário}.}á

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