Considere uma condução de calor unidimensional permanente em uma extensa parede de espessura L e condutividade térmica constante
, sem geração de calor. Obtenha expressões para a variação de temperatura no interior da parede para os seguintes pares de condição de contorno:
e
Passo 1
Resumo do enunciado e equação de base
Temos condução de calor permanente unidimensional, sem geração, em uma parede de espessura e condutividade
. A equação de energia reduz-se a
Temos condução de calor permanente unidimensional, sem geração, em uma parede de espessura
Queremos
sujeita às condições de contorno puramente de fluxo
Passo 2
Integração da equação diferencial
Integrando duas vezes obtemos
Integrando
onde
e
são constantes de integração a determinar.
Passo 3
Aplicação das condições de contorno de fluxo
As duas condições de fluxo dão
As duas condições de fluxo dão
Para existir solução única é necessário
o que não ocorre aqui
.
Passo 4
Conclusão sobre a constante e forma geral de
- Como as duas condições de fluxo só fixam a mesma constante
, sobra uma constante livre . - Se quisermos usar apenas a condição em
, temos
logo a família de soluções é
onde
fica indeterminado (qualquer valor arbitrário de referência).
Alternativamente, usando só o fluxo em
(e tomando como referência
),
e
Resposta
ou, numa outra referência,