Considere a parede sul de uma casa com espessura de 20 cm . A superfície externa da parede é exposta à radiação solar com absortividade \alpha=0,5 para energia solar. O interior da casa é mantido em temperatura T^{\circ} 1=20^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a temperatura do meio externo é \mathrm{T} \infty 2=5^{\circ} \mathrm{C}. O céu, o solo e as superfícies das estruturas ao redor do local podem ser modelados como superfície com temperatura efetiva de Tcéu =255 \mathrm{~K} que troca radiação com a superfície externa da parede. A troca de radiação entre a superfície interna da parede e o teto, o piso e outras paredes da casa é desprezível. Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa da parede são h1 =6 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K} e h2 =25 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}, respectivamente. A condutividade térmica do material que compõe a parede é \mathrm{k}=0,7 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{Ke} a emissividade da superfície externa é \varepsilon 2=0,9. Considerando que a transferência de calor pela
parede é unidimensional e permanente, expresse as condições de contorno nas superfícies interna e externa da parede.

Passo 1

Temos uma parede de espessura L=0{,}20\\ \mathrm{m} submetida a regime permanente e unidimensional de condução. Na face interna x=0 há convecção com coeficiente h_{1} e temperatura do ar interno T_{1}=20\,^{\circ}\mathrm{C}. Na face externa x=L ocorrem:
  • Convecção com coeficiente h_{2} e temperatura do ar externo T_{\infty2}=5\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • Troca radiativa com temperatura efetiva do céu T_{\mathrm{céu}}=255\\ \mathrm{K}é e emissividade \varepsilon_{2}=0{,}9.
  • Absorção de radiação solar, com absortividade \alpha=0{,}5 e fluxo incidente \dot q''_{\mathrm{solar}}.
Queremos escrever as condições de contorno do problema, relacionando o fluxo de condução na parede com as trocas convectiva e radiativa e a absorção solar.

Passo 2

Na superfície interna x=0 o fluxo de calor por condução que sai da parede deve igualar o fluxo perdido por convecção para o ar interno. Adotando o sinal positivo do fluxo no sentido de x crescente e usando a lei de Fourier, temos
q''_{\mathrm{cond}}(0) \;=\;-\,k\,\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0}
e pela condição de convecção
q''_{\mathrm{cond}}(0) =h_{1}\,\bigl[T(0)-T_{1}\bigr].
Portanto a condição de contorno em x=0 é
-\,k\,\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} = h_{1}\,\bigl[T(0)-T_{1}\bigr].

Passo 3

Na superfície externa x=L o fluxo de condução que chega à face externa se reparte em:
  1. Convecção para o ar externo: h_{2}\,\bigl[T(L)-T_{\infty2}\bigr].
  2. Radiação líquida para o céu: \varepsilon_{2}\,\sigma\,\bigl[T(L)^{4}-T_{\mathrm{céu}}^{4}\bigr]é.
  3. Absorção da radiação solar: -\,\alpha\,\dot q''_{\mathrm{solar}} (sinal negativo porque é aporte de energia à parede).
Assim, impondo o balanço do fluxo de condução com essas trocas, obtemos
q''_{\mathrm{cond}}(L)\;=\;-\,k\,\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L} = h_{2}\,\bigl[T(L)-T_{\infty2}\bigr] \;+\;\varepsilon_{2}\,\sigma\,\bigl[T(L)^{4}-T_{\mathrm{céu}}^{4}\bigr] \;-\;\alpha\,\dot q''_{\mathrm{solar}}.é

Resposta

Em resumo, as condições de contorno são:
\boxed{ -\,k\;\frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} = h_{1}\,\bigl[T(0)-T_{1}\bigr] }
\boxed{ -\,k\;\frac{dT}{dx}\Big|_{x=L} = h_{2}\,\bigl[T(L)-T_{\infty2}\bigr] +\varepsilon_{2}\,\sigma\,\bigl[T(L)^{4}-T_{\mathrm{céu}}^{4}\bigr] -\alpha\,\dot q''_{\mathrm{solar}} }é

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