1. Considere uma extensa parede plana de 6 cm de espessura e condutividade térmica \mathrm{k}= 1,2 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} no espaço. A parede está coberta por porcelanas brancas de emissividade \varepsilon= 0,85 e absortividade \boldsymbol{a}=0,26. A superfície interna da parede é mantida a \mathrm{T} 1=300 \mathrm{~K} o tempo todo, enquanto a superfície externa é exposta à radiação solar com taxa de incidência de \widehat{q s o l a r}=800 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. A superfície externa também perde calor por radiação para o espaço ao redor a 0 K . Determine a temperatura da superfície externa da parede e a taxa de transferência de calor através dela quando alcança condições permanentes de operação. Qual seria sua resposta se não houvesse radiação solar incidindo na superfície?

Passo 1

O enunciado trata de condução unidimensional através de uma parede de espessura L=0,06\\ \mathrm{m} e condutividade térmica k=1,2\\ \mathrm{W/mK}. A superfície interna está mantida em T_{1}=300\\ \mathrm{K} e a externa recebe radiação solar com irradiância G=800\\ \mathrm{W/m^2}. A parede está coberta por porcelana com absortividade \displaystyle a=0,26 (para a radiação solar) e emissividade \displaystyle \varepsilon=0,85 (para emissão térmica), e troca radiação com o espaço a T_{\infty}=0\\ \mathrm{K}.
Conteúdo: balanço de energia na superfície, combinando condução e troca radiativa.
O que vamos precisar:
  1. Escrever o balanço de energia na superfície externa.
  2. Determinar a equação não linear em T_s.
  3. Resolver numericamente para T_s e então calcular a taxa de calor q.
  4. Repetir sem radiação solar G=0.

Passo 2

Na superfície externa, a soma dos fluxos deve ser zero. Adotando positiva a direção do calor saindo do interior para o exterior, temos:
\underbrace{\frac{k}{L}\bigl(T_{1}-T_{s}\bigr)}_{\text{condução até a superfície}} +\underbrace{a\,G}_{\substack{\text{radiação solar}\\text{absorvida}}} -\underbrace{\varepsilon\,\sigma\,T_{s}^{4}}_{\substack{\text{emissão térmica}\\text{para o espaço}}} =0.çãéíçããéç
Substituindo k/L=1{,}2/0{,}06=20\\ \mathrm{W/m^2K} e \sigma=5,67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^2K^4}, obtemos a equação
20\,(300 - T_{s}) + 0{,}26\times800 =0{,}85\times5{,}67\times10^{-8}\;T_{s}^{4}.

Passo 3

Escrevendo-a de forma explícita,
6208 \;-\;20\,T_{s} \;=\;4{,}82\times10^{-8}\;T_{s}^{4}.
Fazendo tentativa por iteração (ou método de Newton), achamos a raiz em torno de
T_{s}\approx 293\\ \mathrm{K}.

Passo 4

A taxa de calor conduzido é
q =\frac{k}{L}\,\bigl(T_{1}-T_{s}\bigr) =20\,(300-293) \approx 20\times7 =140\\ \mathrm{W/m^2}.
O valor mais refinado dá cerca de 147\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Se não houver radiação solar G=0, a equação fica
20\,(300 - T_{s}) =4{,}82\times10^{-8}\;T_{s}^{4}.
Resolvendo numericamente, obtém-se
T_{s}\approx 284\\ \mathrm{K},
e
q =20\,(300-284) \approx 314\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

Com radiação solar incidente G=800\\ \mathrm{W/m^2}:
T_{s}\approx 293\\ \mathrm{K},\quad q\approx 147\\ \mathrm{W/m^2}.
Sem radiação solar G=0:
T_{s}\approx 284\\ \mathrm{K},\quad q\approx 314\\ \mathrm{W/m^2}.

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