Considere um condutor cilíndrico de raio R transportando uma corrente total io. A densidade de corrente na seção reta do cilindro é dada por:
J=C \cdot r
onde ré a distância ao eixo do cilindro e C é uma constante com dimensão de densidade de corrente sobre distância. Determine o módulo do campo magnético produzido por este fio para os pontos situados no interior do condutor.

Passo 1

O enunciado trata de magnetostática: um fio cilíndrico de raio R carrega corrente total I_0 com densidade de corrente variável radialmente segundo
J = C \cdot r
onde r é a distância ao eixo. Queremos o módulo do campo magnético \mathbf{B}(r) para pontos internos, ou seja, \,r<R. Vamos usar a Lei de Ampère e a definição de corrente total para achar C e depois B(r).

Passo 2

Calculamos primeiro a constante C impondo que a corrente total atravessando a seção do fio vale I_0. Usando
I_0=\int_{\text{seção}}J\,dSçã
em coordenadas cilíndricas temos
I_0 = \int_{0}^{R}\!\bigl(C\,r'\bigr)\,(2\pi r'\,dr') =2\pi C\int_{0}^{R}r'^{2}\,dr' =2\pi C\frac{R^{3}}{3}.
Isolando C:
C=\frac{3\,I_0}{2\pi R^{3}}.

Passo 3

Para um ponto interno a uma distância r<R, a corrente englobada pelo caminho amperiano circular de raio r é
I_{\rm enc}(r) =\int_{0}^{r}\!J(r')\,2\pi r'\,dr' =2\pi C\int_{0}^{r}r'^{2}\,dr' =2\pi C\frac{r^{3}}{3}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Ampère num círculo de raio r:
\oint\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =B(r)\,(2\pi r) =\mu_{0}\,I_{\rm enc}(r) =\mu_{0}\,2\pi C\frac{r^{3}}{3}.
Logo,
B(r) =\frac{\mu_{0}\,2\pi C\,r^{3}/3}{2\pi r} =\frac{\mu_{0}\,C\,r^{2}}{3}.

Passo 5

Substituindo C=\frac{3I_0}{2\pi R^{3}} em B(r)=\frac{\mu_{0}C\,r^{2}}{3}, obtemos
B(r) =\frac{\mu_{0}}{3}\,\frac{3I_0}{2\pi R^{3}}\,r^{2} =\frac{\mu_{0}I_0}{2\pi R^{3}}\,r^{2}.

Resposta

B(r)=\frac{\mu_{0}\,I_{0}}{2\pi\,R^{3}}\,r^{2} \quad\text{para }r<R,
com a direção tangencial ao círculo de raio r.

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