Um homem de 80 kg sobe em uma escada de 16 kg com 3,2 \mathrm{~m} de comprimento apoiada, num ângulo de 36,87^{\circ}, em uma parede vertical sem atrito. A outra extremidade da escada está sobre um piso horizontal ( \mu_{\mathrm{e}}=0,45 ). a) Qual a força exercida pelo piso horizontal sobre a escada quando o homem estiver no meio da mesma? b) Até que altura o homem pode subir sem que a escada escorregue?

Passo 1

O enunciado trata de equilíbrio estático de um bastão (a escada) de massa m_l=16 kg e comprimento L=3,2 m, apoiado num piso horizontal com coeficiente de atrito estático \mu=0,45 e encostado numa parede sem atrito, formando ângulo \theta=36,87^\circ (triângulo 3–4–5, logo \sin\theta=0,6, \cos\theta=0,8). Um homem de massa m_h=80 kg sobe na escada.
Vamos usar as condições de equilíbrio:
  1. \sum F_x=0
  2. \sum F_y=0
  3. \sum \tau_{\text{pé}}=0é

Passo 2

Montamos o diagrama de forças na escada:
  • No pé (piso) temos reações horizontais \displaystyle F (atrito) e verticais \displaystyle N.
  • No topo (parede) há apenas reação horizontal \displaystyle N_{\text{top}}.
  • Peso da escada P_l=m_l g age no centro (a L/2 do pé).
  • Peso do homem P_h=m_h g age no ponto onde ele está na escada.

Passo 3

Quando o homem está no meio da escada d_h=L/2, escrevemos a soma dos torques em torno do pé:
N_{\text{top}}\,(L\sin\theta) = P_h\,(d_h\cos\theta) + P_l\!\bigl(\tfrac{L}{2}\cos\theta\bigr).
Como d_h=L/2 e P_h=(m_h+m_l)g nesse caso somamos massas para simplificar, obtemos
N_{\text{top}} =\frac{(m_h+m_l)g\,(L/2)\cos\theta}{L\sin\theta} =\frac{96\cdot9,8\cdot0,8}{2\cdot0,6} \approx627{,}2\\ \text{N}.
Daí, pela soma das forças horizontais, F=N_{\text{top}}\approx627{,}2 N, e pela vertical,
N = P_h+P_l = (80+16)\,g = 96\cdot9,8 \approx940{,}8\\ \text{N}.

Passo 4

O módulo da reação resultante no pé é
R = \sqrt{F^2 + N^2} =\sqrt{(627{,}2)^2+(940{,}8)^2} \approx1\,131\\ \text{N}.

Passo 5

Para determinar até que distância d ao longo da escada (a partir do pé) o homem pode subir sem que haja deslizamento, usamos o torque de equilíbrio com N_{\text{top}}=F_{\max}=\mu N:
\mu N \,(L\sin\theta) = m_h g\,(d\cos\theta) + m_l g\!\bigl(\tfrac{L}{2}\cos\theta\bigr).
Isolando d,
d =\frac{\mu\,96g\,(L\sin\theta)-16g\,(L/2)\cos\theta}{80g\cos\theta} =\;L\, \frac{96\mu\sin\theta - 8\cos\theta}{80\cos\theta}.
Substituindo \mu=0,45, \sin\theta=0,6, \cos\theta=0,8 e L=3,2 m,
d \approx 3{,}2\;\frac{96\cdot0,45\cdot0,6 - 8\cdot0,8}{80\cdot0,8} \approx0{,}976\\ \text{m}.
A altura vertical correspondente é
h = d\,\sin\theta \approx 0{,}976\cdot0{,}6 \approx0{,}586\\ \text{m}.

Resposta

a) A reação do piso é composta por
  • atrito F\approx627{,}2 N,
  • normal N\approx940{,}8 N,
  • resultante R\approx1\,131 N.
b) O homem pode subir até cerca de 0{,}976 m ao longo da escada (altura vertical \approx0{,}586 m) antes de a escada começar a escorregar.

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