Uma partícula move-se de acordo com a equação: x(t)=4 \cos (2 \pi t+\pi / 4), em unidades do S.I.
a) Qual a posição inicial da partícula?
b) E a velocidade inicial?
c) Qual o período do movimento?
d) Qual o primeiro instante em que ela passa pela origem?

Passo 1

O enunciado dá o movimento harmônico simples
x(t)=4\cos\bigl(2\pi t + \tfrac{\pi}{4}\bigr)
em unidades SI.
O conteúdo aqui é cinemática de movimento harmônico: vamos usar a definição de posição para t=0, derivar para achar a velocidade, usar T=2\pi/\omega para o período e resolver \cos(\dots)=0 para achar o instante em que x=0.

Passo 2

Para a posição inicial basta avaliar x(0):
x(0)=4\cos\!\bigl(2\pi\cdot0+\tfrac{\pi}{4}\bigr) =4\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =4\cdot\tfrac{\sqrt2}{2} =2\sqrt2\\ \text{m}.

Passo 3

A velocidade é v(t)=\frac{dx}{dt}. Como
x(t)=4\cos\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)
temos
v(t)=-4\sin\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-4\sin\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\cdot2\pi =-8\pi\sin\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Logo a velocidade inicial é
v(0)=-8\pi\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =-8\pi\cdot\tfrac{\sqrt2}{2} =-4\sqrt2\,\pi\\ \text{m/s}.

Passo 4

O período de um M.H.S. é
T=\frac{2\pi}{\omega},
aqui \omega=2\pi, então
T=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \text{s}.

Passo 5

Para achar o primeiro instante em que x(t)=0 resolvemos
\cos\bigl(2\pi t+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\pi t+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.
Para o menor t>0 usamos k=0, ficando
2\pi t+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2\pi t=\tfrac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\pi/4}{2\pi}=\frac{1}{8}\\ \text{s}.

Resposta

a) x(0)=2\sqrt2\\ \text{m}.
b) v(0)=-4\sqrt2\,\pi\\ \text{m/s}.
c) T=1\\ \text{s}.
d) Primeiro passa pela origem em t=\tfrac{1}{8}\\ \text{s}.

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