Considere o cone Q=(x, y, z) ; x^2+y^2 <= R^2 e raizx^2+y^2 <= z <= R, com densidade constante de<a0, e o problema de calcular a força gravitacional com que ele atrai uma partícula de massa m situada na origem P0=(0,0,0). Denote por G a constante de gravitação e por d F(P) a força com que a massa d m=de<a0 d x d y d z do ponto P=(x, y, z) atrai a partícula. Observe que, por simetria, as componentes horizontais de d F(x, y, z) e d F(-x,-y, z) se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forças.
a) Com a notação da figura, expresse rho em função de phi. Em seguida, descreva Q em coordenadas esféricas.
b) Calcule o centro de massa C=(0,0, barz) de Q sabendo que a sua massa é M=de<a0 pi R^3 / 3
c) Use as leis de gravitação para determinar d F(P).
d) Usando um argumento infinitesimal e os itens anteriores, calcule a componente vertical Fv da força F=(0,0, Fv) com que o cone atrai a partícula.
e) Seja d>0 tal que Fv=G M m / d^2. Usando a aproximação raiz2=1,4, verifique se d é menor, igual ou maior que a distância entre a partícula e o centro de massa do cone.

Passo 1

O enunciado trata de um cone
Q=l(x,y,z)mid x^2+y^2<= R^2, raizx^2+y^2<= z<= Rr
de densidade constante de<a0, e pede a força gravitacional que ele exerce sobre uma massa m na origem P0=(0,0,0).
Conteúdo: coordenadas esféricas, centro de massa, lei de gravitação de Newton.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
Na superfície lateral do cone vale
raizx^2+y^2=z Longrightarrow rhosinphi=rhocosphi Longrightarrow tanphi=1 Longrightarrow phi=pi4
Como z=rhocosphi<= R, temos rho<= R/cosphi. Logo
Q=l(rho,theta,phi)mid 0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi/4, 0<=rho<= R/cosphir

Passo 3

Para o centro de massa só há componente z, dada por
bar z =1MintegralQz,dm =1MintegralQz,de<a0,dV
Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) nota-se que r<= z<= R. Fazendo a integral
integralQz,dV =2piintegralz=0^Rintegralr=0^zr,z,dr,dz =2piintegral0^Rzz^22,dz =piR^44
Como M=de<a0pi R^3/3, resulta
bar z =de<a0,pi,R^4/4de<a0,pi,R^3/3 =3R4

Passo 4

A força elementar exercida por dm=de<a0,dV em P sobre m é
d F(P) =G,m,dm| P|^2; erho =G,m,de<a0rho^2; erho,dV,
onde erho=(x,y,z)/rho. A componente vertical é
dFz =G,m,de<a0rho^2;zrho,dV =G,m,de<a0,zl(x^2+y^2+z^2r)^3/2,dV

Passo 5

Integramos em coordenadas esféricas:
Fv =integralQdFz =G,m,de<a0 integral0^2pi!integral0^pi/4!integral0^R/cosphi rhocosphirho^2;rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Simplificando o integrando dá
dFz=G,m,de<a0,sinphicosphi,drho,dphi,dtheta, integral0^R/cosphidrho=Rcosphi,
logo
Fv =2pi,G,m,de<a0,R integral0^pi/4sinphi,dphi =2pi,G,m,de<a0,Rl[1-tfrac1raiz2r]
Usando M=de<a0pi R^3/3 obtemos
Fv =2pi G m,de<a0Rl(1-tfrac1raiz2r) 1 =6,G,M,mR^2l(1-1raiz2r)

Passo 6

Definimos d>0 por
Fv=G,M,md^2 Longrightarrow d^2 =R^26l(1-1/raiz2r)
Aproximando raiz2approx1,4 1-1/1,4approx1-0,714=0,286, então
d^2approxR^26cdot0,286approxR^21,716, dapprox0,76,R
Como a distância até o centro de massa é bar z=3R/4=0,75R, temos d>3R/4.

Resposta

a) rhosinphi=rhocosphi phi=pi/4.
Em esféricas
Q=l0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi/4, 0<=rho<= R/cosphir
b) bar z=1MintegralQz,dm=3R4
c) d F(P) =G,m,de<a0rho^3(x,y,z),dV,
dFz =G,m,de<a0,z(x^2+y^2+z^2)^3/2,dV
d) Fv =6,G,M,mR^2l(1-1raiz2r)
e)
d^2 =R^26(1-1/raiz2), dapprox0,76R>0,75R,
portanto d é maior que a distância ao centro de massa.

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