Considere o cone
e
, com densidade constante
, e o problema de calcular a força gravitacional com que ele atrai uma partícula de massa
situada na origem
. Denote por
a constante de gravitação e por
a força com que a massa
do ponto
atrai a partícula. Observe que, por simetria, as componentes horizontais de
e
se cancelam, restando apenas as componentes verticais dessas forças.
a) Com a notação da figura, expresse
em função de
. Em seguida, descreva
em coordenadas esféricas.
b) Calcule o centro de massa
de
sabendo que a sua massa é
c) Use as leis de gravitação para determinar
.
d) Usando um argumento infinitesimal
os itens anteriores, calcule a componente vertical
da força
com que o cone atrai a partícula.
e) Seja
tal que
. Usando a aproximação
, verifique se
é menor, igual ou maior que a distância entre a partícula e o centro de massa do cone.
a) Com a notação da figura, expresse
b) Calcule o centro de massa
c) Use as leis de gravitação para determinar
d) Usando um argumento infinitesimal
e) Seja
Passo 1
O enunciado trata de um cone
de densidade constante
, e pede a força gravitacional que ele exerce sobre uma massa
na origem
.
Conteúdo: coordenadas esféricas, centro de massa, lei de gravitação de Newton.
Conteúdo: coordenadas esféricas, centro de massa, lei de gravitação de Newton.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
Na superfície lateral do cone vale
Como
, temos
. Logo
Passo 3
Para o centro de massa só há componente
, dada por
Em coordenadas cilíndricas
nota-se que
. Fazendo a integral
Como
, resulta
Passo 4
A força elementar exercida por
em
sobre
é
onde
. A componente vertical é
Passo 5
Integramos em coordenadas esféricas:
Simplificando o integrando dá
logo
Usando
obtemos
Passo 6
Definimos
por
Aproximando
dá
, então
Como a distância até o centro de massa é
, temos
.
Resposta
a)
dá
.
Em esféricas
Em esféricas
b)
c)
d)
e)
,
portanto é maior que a distância ao centro de massa.
portanto