Determine se a afirmação é las ou verdadeira. Se for verdadera. explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral-1^1 integral0^1 e^x^2+y^2 sen y d x d y=0

Passo 1

O enunciado pergunta se a integral dupla
integral-1^1integral0^1e^x^2+y^2sin y,dx,dy
vale zero. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e uso de simetria (paridade) na variável x, além de analisar o sinal da função sin y em yin[0,1].

Passo 2

Para cada yin[0,1], considere a integral interna em x:
integral-1^1e^x^2+y^2sin y,dx
Como e^x^2+y^2sin y é uma função par de x (pois depende de x^2) e sin y é independente de x, temos
integral-1^1e^x^2+y^2sin y,dx =2,sin y;e^y^2;integral0^1e^x^2,dx

Passo 3

Note que
integral0^1e^x^2,dx>0
e, para todo yin(0,1], sin y>0 e e^y^2>0. Logo o integrando da etapa seguinte,
2,sin y;e^y^2;integral0^1e^x^2,dx,
é estritamente positivo para y>0.

Passo 4

Portanto a integral externa
integral0^1l[2,sin y;e^y^2;integral0^1e^x^2,dxr]dy
é também estritamente positiva. Isso mostra que
integral-1^1integral0^1e^x^2+y^2sin y,dx,dy>0
e, em particular, não é zero.

Resposta

A afirmação é falsa, pois a paridade em x e o sinal positivo de sin y em [0,1] implicam que a integral vale um número positivo, e não zero.

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