Determine se a afirmação é las ou verdadeira. Se for verdadera. explique por quế; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pergunta se a integral dupla
vale zero. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e uso de simetria (paridade) na variável
, além de analisar o sinal da função
em
.
Passo 2
Para cada
, considere a integral interna em
:
Como
é uma função par de
(pois depende de
) e
é independente de
, temos
Passo 3
Note que
e, para todo ,
e
. Logo o integrando da etapa seguinte,
e, para todo
é estritamente positivo para
.
Passo 4
Portanto a integral externa
é também estritamente positiva. Isso mostra que
e, em particular, não é zero.
Resposta
A afirmação é falsa, pois a paridade em
e o sinal positivo de
em
implicam que a integral vale um número positivo, e não zero.