(a) Se uma transformaçăo é dada por , qual é o jacobiano de ?
(b) Como voce muda de variáveis em uma integral dupla?
(c) Como você muda de variáveis em uma integral tripla?
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) escrever o jacobiano de uma transformação bidimensional definida por e , (b) explicar como usar essa transformação para reescrever uma integral dupla como uma integral em , e (c) fazer o mesmo para uma integral tripla. O conteúdo envolve determinantes de matrizes de derivadas parciais e o teorema de mudança de variáveis em integrais múltiplas.
Passo 2
Para (a) nós precisamos montar a matriz das derivadas parciais de em relação a . Essa matriz chama-se matriz jacobiana e tem entradas , , e . O jacobiano de é o determinante dessa matriz.
O jacobiano de fica então
]
Passo 3
Para (b) usamos o teorema de mudança de variáveis em integrais duplas. Se T leva um domínio S em (u,v) bijetivamente a um domínio R em (x,y), então
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integral duplaS fl(g(u,v),,h(u,v)r),l|JT(u,v)r|,du,dv
Aqui o fator l|JT(u,v)r| ajusta a distorção de área provocada pela transformação.
Passo 4
Para (c) repetimos a ideia no espaço tridimensional. Se T:(u,v,w)mapsto(x,y,z) é definida por três funções suaves x=g(u,v,w), y=h(u,v,w), z=k(u,v,w), então a matriz jacobiana é a matriz 3times3 das derivadas parciais partial(x,y,z)/partial(u,v,w). O determinante dessa matriz dá JT(u,v,w). O teorema de mudança de variáveis em integral tripla afirma que, para domínios Ssubset(u,v,w) e R=T(S)subset(x,y,z),
integral triplaR f(x,y,z),dV =integral triplaS fl(g(u,v,w),,h(u,v,w),,k(u,v,w)r),l|JT(u,v,w)r|,du,dv,dw
Resposta
(a) O jacobiano de T é
JT(u,v) =det partial xpartial u & partial xpartial v[0.5em] partial ypartial u & partial ypartial v =partial xpartial u,partial ypartial v -partial xpartial v,partial ypartial u
(b) A integral dupla muda de variáveis segundo
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integral duplaS fl(g(u,v),h(u,v)r),l|JT(u,v)r|,du,dv
(c) A integral tripla muda de variáveis segundo
integral triplaR f(x,y,z),dV =integral triplaS fl(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w)r),l|JT(u,v,w)r|,du,dv,dw ]