(a) Se uma transformaçăo T é dada por x=g(u, v), y= h(u, v), qual é o jacobiano de T ?
(b) Como voce muda de variáveis em uma integral dupla?
(c) Como você muda de variáveis em uma integral tripla?

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) escrever o jacobiano de uma transformação bidimensional T:(u,v)mapsto(x,y) definida por x=g(u,v) e y=h(u,v), (b) explicar como usar essa transformação para reescrever uma integral dupla integral duplaR f(x,y),dx,dy como uma integral em (u,v), e (c) fazer o mesmo para uma integral tripla. O conteúdo envolve determinantes de matrizes de derivadas parciais e o teorema de mudança de variáveis em integrais múltiplas.

Passo 2

Para (a) nós precisamos montar a matriz das derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v). Essa matriz chama-se matriz jacobiana e tem entradas partial x/partial u, partial x/partial v, partial y/partial u e partial y/partial v. O jacobiano de T é o determinante dessa matriz.
O jacobiano de T fica então
JT(u,v) =det partial xpartial u & partial xpartial v[1em] partial ypartial u & partial ypartial v =partial xpartial u,partial ypartial v -partial xpartial v,partial ypartial u ]

Passo 3

Para (b) usamos o teorema de mudança de variáveis em integrais duplas. Se T leva um domínio S em (u,v) bijetivamente a um domínio R em (x,y), então
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integral duplaS fl(g(u,v),,h(u,v)r),l|JT(u,v)r|,du,dv
Aqui o fator l|JT(u,v)r| ajusta a distorção de área provocada pela transformação.

Passo 4

Para (c) repetimos a ideia no espaço tridimensional. Se T:(u,v,w)mapsto(x,y,z) é definida por três funções suaves x=g(u,v,w), y=h(u,v,w), z=k(u,v,w), então a matriz jacobiana é a matriz 3times3 das derivadas parciais partial(x,y,z)/partial(u,v,w). O determinante dessa matriz dá JT(u,v,w). O teorema de mudança de variáveis em integral tripla afirma que, para domínios Ssubset(u,v,w) e R=T(S)subset(x,y,z),
integral triplaR f(x,y,z),dV =integral triplaS fl(g(u,v,w),,h(u,v,w),,k(u,v,w)r),l|JT(u,v,w)r|,du,dv,dw

Resposta

(a) O jacobiano de T é
JT(u,v) =det partial xpartial u & partial xpartial v[0.5em] partial ypartial u & partial ypartial v =partial xpartial u,partial ypartial v -partial xpartial v,partial ypartial u
(b) A integral dupla muda de variáveis segundo
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integral duplaS fl(g(u,v),h(u,v)r),l|JT(u,v)r|,du,dv
(c) A integral tripla muda de variáveis segundo
integral triplaR f(x,y,z),dV =integral triplaS fl(g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w)r),l|JT(u,v,w)r|,du,dv,dw ]

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