Considere o cone circular menos o vértice descrito por
X(u, v)=(u \operatorname{sen} \alpha \cos v, u \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} v, u \cos \alpha), u>0, v \in \mathbb{R},
onde 0<\alpha<\frac{\pi}{2} é uma constante. Descreva a imagem da aplicação normal de Gauss sobre a esfera unitária.

Passo 1

O enunciado nos dá o parametrização de um cone circular (sem vértice)
X(u,v)=\bigl(u\sin\alpha\cos v,\;u\sin\alpha\sin v,\;u\cos\alpha\bigr), \quad u>0,\;v\in\mathbb{R},
e pede a imagem da aplicação normal de Gauss, ou seja, o conjunto dos vetores unitários \,N(u,v)=\frac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|}\, sobre a esfera unitária S^2.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais
X_u=(\sin\alpha\cos v,\;\sin\alpha\sin v,\;\cos\alpha),
X_v=(-u\sin\alpha\sin v,\;u\sin\alpha\cos v,\;0).

Passo 3

Em seguida fazemos o produto vetorial
X_u\times X_v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \sin\alpha\cos v&\sin\alpha\sin v&\cos\alpha\\\\ -\,u\sin\alpha\sin v&u\sin\alpha\cos v&0 \end{vmatrix} =u\sin\alpha\, \bigl(-\cos\alpha\cos v,\,-\cos\alpha\sin v,\;\sin\alpha\bigr).

Passo 4

O módulo desse vetor é
\bigl\|X_u\times X_v\bigr\| =u\sin\alpha\, \sqrt{\cos^2\alpha(\cos^2v+\sin^2v)+\sin^2\alpha} =u\sin\alpha,
logo o versor normal fica
N(u,v) =\frac{X_u\times X_v}{\|X_u\times X_v\|} =\bigl(-\cos\alpha\cos v,\,-\cos\alpha\sin v,\;\sin\alpha\bigr).

Passo 5

Note que N(u,v) não depende de u, apenas de v. Além disso a terceira componente é constante igual a \sin\alpha. Portanto, à medida que v varia em \mathbb{R}, o vetor N(u,v) descreve uma circunferência em S^2 de altura z=\sin\alpha e raio \cos\alpha.

Resposta

A imagem da aplicação normal de Gauss é a paralela de latitude em S^2 definida por
\bigl\{(x,y,z)\in S^2: z=\sin\alpha\text{ e }x^2+y^2=\cos^2\alpha\bigr\},
ou seja, a circunferência \bigl(-\cos\alpha\cos v,\,-\cos\alpha\sin v,\;\sin\alpha\bigr), v\in\mathbb{R}.

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