(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para . Dados: Se , então V=binom11 é autovetor com autovalor lambda=6.
Passo 1
O enunciado pede para reduzir a cônica
C:;5x^2+2xy+5y^2+10raiz2,x+2raiz2,y+8=0
por mudanças de coordenadas. Isso envolve dois tópicos principais:
diagonalizar a parte quadrática 5x^2+2xy+5y^2 usando autovalores e autovetores de
A=5&11&5,
completar quadrados na forma obtida para chegar à equação reduzida.
Passo 2
Já sabemos que A tem autovalores lambda1=6 com autovetor V1=(1,1) e lambda2=4 com autovetor V2=(1,-1). Isso significa que, se alinharmos um novo eixo u na direção de V1 e um eixo v na direção de V2, a forma quadrática diagonaliza para
5x^2+2xy+5y^2=6,u^2+4,v^2
Passo 3
Escolhemos as coordenadas normalizadas
u=x+yraiz2, v=x-yraiz2,
cuja inversa é
x=u+vraiz2, y=u-vraiz2
Assim, a parte quadrática vira 6u^2+4v^2.
Passo 4
Substituímos x e y em todos os termos. Primeiro os termos lineares: