Considere a cônica
C: 5 x^2+2 x y+5 y^2+10 raiz2 x+2 raiz2 y+8=0
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para C. Dados: Se A=(ll5 & 1 1 & 5), então V=binom11 é autovetor com autovalor lambda=6.

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a cônica
C:;5x^2+2xy+5y^2+10raiz2,x+2raiz2,y+8=0
por mudanças de coordenadas. Isso envolve dois tópicos principais:
  1. diagonalizar a parte quadrática 5x^2+2xy+5y^2 usando autovalores e autovetores de
A=5&11&5,
  1. completar quadrados na forma obtida para chegar à equação reduzida.

Passo 2

Já sabemos que A tem autovalores lambda1=6 com autovetor V1=(1,1) e lambda2=4 com autovetor V2=(1,-1). Isso significa que, se alinharmos um novo eixo u na direção de V1 e um eixo v na direção de V2, a forma quadrática diagonaliza para
5x^2+2xy+5y^2=6,u^2+4,v^2

Passo 3

Escolhemos as coordenadas normalizadas
u=x+yraiz2, v=x-yraiz2,
cuja inversa é
x=u+vraiz2, y=u-vraiz2
Assim, a parte quadrática vira 6u^2+4v^2.

Passo 4

Substituímos x e y em todos os termos. Primeiro os termos lineares:
10raiz2,x+2raiz2,y =10raiz2,u+vraiz2+2raiz2,u-vraiz2 =10u+10v+2u-2v =12u+8v
Então a equação de C em (u,v) fica
6u^2+4v^2+12u+8v+8=0
Para simplificar, dividimos por 2:
3u^2+2v^2+6u+4v+4=0

Passo 5

Agora completamos quadrados em u e v:
3l(u^2+2ur)+2l(v^2+2vr)+4=0 ;Longrightarrow; 3l[(u+1)^2-1r]+2l[(v+1)^2-1r]+4=0,
3(u+1)^2-3+2(v+1)^2-2+4=0 ;Longrightarrow; 3(u+1)^2+2(v+1)^2-1=0 ;Longrightarrow; 3(u+1)^2+2(v+1)^2=1

Resposta

A equação reduzida da cônica, no sistema l(u=tfracx+yraiz2,,v=tfracx-yraiz2r), é
3(u+1)^2+2(v+1)^2=1

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