Dada a reta
e os pontos
e
, ache o(s) ponto(s) de
equidistantes de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta
definida por
, onde
é um número real. Além disso, temos dois pontos
e
. O objetivo é encontrar o(s) ponto(s) na reta
que estão igualmente distantes de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância entre pontos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um ponto
estar na reta
. A equação da reta
é dada por:
Isso significa que qualquer ponto
na reta
pode ser expresso como:
Aqui,
é um parâmetro que varia nos números reais (
).
Passo 3
Queremos que esse ponto
esteja equidistante dos pontos
e
. Em termos matemáticos, isso significa que a distância de
até
deve ser igual à distância de
até
:
A distância entre dois pontos
e
no espaço é dada pela fórmula:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para encontrar
e
.
Primeiro, substituímos
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Como queremos que
, podemos igualar as expressões e resolver para
:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Agora vamos expandir os termos quadrados:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 7
Agora temos a equação:
Vamos subtrair
de ambos os lados para simplificar:
Agora, vamos isolar
:
Passo 8
Encontramos que
. Agora, substituímos esse valor na equação da reta
para encontrar as coordenadas do ponto
:
Resposta
O ponto na reta
que está igualmente distante de
e
é
.