Dada a reta r: X=(1,1,1)+t(1,-1,1), t in R e os pontos A=(1,2,3) e B=(-1,1,-2), ache o(s) ponto(s) de r equidistantes de A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta r definida por X = (1,1,1) + t(1,-1,1) , onde t é um número real. Além disso, temos dois pontos A = (1,2,3) e B = (-1,1,-2) . O objetivo é encontrar o(s) ponto(s) na reta r que estão igualmente distantes de A e B . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula de distância entre pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto P estar na reta r . A equação da reta r é dada por:
X = (1,1,1) + t(1,-1,1)
Isso significa que qualquer ponto P na reta r pode ser expresso como:
P = (1 + t, ; 1 - t, ; 1 + t)
Aqui, t é um parâmetro que varia nos números reais ( t in R ).

Passo 3

Queremos que esse ponto P esteja equidistante dos pontos A e B . Em termos matemáticos, isso significa que a distância de P até A deve ser igual à distância de P até B :
d(P, A) = d(P, B)
A distância entre dois pontos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) no espaço é dada pela fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para encontrar d(P, A) e d(P, B) .
Primeiro, substituímos P = (1 + t, ; 1 - t, ; 1 + t) :
Para d(P, A) :
d(P, A) = raiz(1 + t - 1)^2 + (1 - t - 2)^2 + (1 + t - 3)^2 = raizt^2 + (-1 - t)^2 + (-2 + t)^2
Para d(P, B) :
d(P, B) = raiz(1 + t - (-1))^2 + (1 - t - 1)^2 + (1 + t - (-2))^2 = raiz(2 + t)^2 + (-t)^2 + (3 + t)^2

Passo 5

Como queremos que d(P, A) = d(P, B) , podemos igualar as expressões e resolver para t :
raizt^2 + (-1 - t)^2 + (-2 + t)^2 = raiz(2 + t)^2 + (-t)^2 + (3 + t)^2
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
t^2 + (-1 - t)^2 + (-2 + t)^2 = (2 + t)^2 + (-t)^2 + (3 + t)^2

Passo 6

Agora vamos expandir os termos quadrados:
Para o lado esquerdo:
t^2 + (1 + 2t + t^2) + (4 - 4t + t^2) = t^2 + 1 + 2t + t^2 + 4 - 4t + t^2 = 3t^2 - 2t + 5
Para o lado direito:
(4 + 4t + t^2) + t^2 + (9 + 6t + t^2) = 4 + 4t + t^2 + t^2 + 9 + 6t + t^2 = 3t^2 + 10t + 13

Passo 7

Agora temos a equação:
3t^2 - 2t + 5 = 3t^2 + 10t + 13
Vamos subtrair 3t^2 de ambos os lados para simplificar:
-2t + 5 = 10t + 13
Agora, vamos isolar t :
-2t - 10t = 13 - 5 -12t = 8 t = 8-12 = -23

Passo 8

Encontramos que t = -23 . Agora, substituímos esse valor na equação da reta r para encontrar as coordenadas do ponto P :
P = (1 + t, ; 1 - t, ; 1 + t) = (1 - 23, ; 1 + 23, ; 1 - 23) = (13, ; 53, ; 13)

Resposta

O ponto na reta r que está igualmente distante de A e B é P = (13, ; 53, ; 13) .

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