Dado o operador T(x, y)=(x+y, 2 x-y) e uma base beta=(1,1),(1,0), então encontre os autovalores da matriz [T]beta^beta, caso existam.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o operador linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(x+y,;2x-y),
e a base beta=v1=(1,1),,v2=(1,0). Queremos encontrar os autovalores da matriz de T em relação a beta, isto é, os autovalores de [T]beta^beta. Para isso, vamos (1) calcular [T]beta^beta e depois (2) resolver a sua equação característica.

Passo 2

Calculamos as imagens de
Procuramos tais que
Isso leva ao sistema
logo . Portanto a primeira coluna de é
.
Para :
Procuramos tais que
o que dá
logo . Assim a segunda coluna é .

Passo 3

Montamos a matriz de T na base beta:
[T]beta^beta = 1 & 2 1 & -1
Seu polinômio característico é
detl([T]beta^beta-lambda Ir) =det 1-lambda & 2 1 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-2 =lambda^2-3

Passo 4

Resolvendo lambda^2-3=0 obtemos
lambda=pmraiz3

Resposta

Os autovalores de [T]beta^beta são raiz3 e -raiz3.

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