A prova tem valor 30 pontos. Justifique suas respostas. Boa proval
Questĩo 1 (10 pontos). Considere os vetores
V1=(c 1 -2 1 ), V2=(c 3 -4 1 ) e V3=(l 1 0 0 )
(a) Aplique o método de Gram-Schmidt a V1, V2, V3 para encontrar uma base ortogonal W1, W2, W3 de
R^3.

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos o método de Gram–Schmidt ao conjunto V1,V2,V3 em R^3 e obter uma base ortogonal W1,W2,W3. Vamos usar o produto interno padrão em R^3 e a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Definimos
W1=V1=1-21
Em seguida calculamos a projeção de V2 sobre W1:
projW1(V2) =lang<= V2,W1rang<=lang<= W1,W1rang<=,W1,
onde
lang<= V2,W1rang<= =3cdot1+(-4)cdot(-2)+1cdot1=12, lang<= W1,W1rang<= =1^2+(-2)^2+1^2=6
Logo
projW1(V2) =126W1=2,W1 =2-42
Então escolhemos
W2 =V2-projW1(V2) =3-41 -2-42 =10-1

Passo 3

Agora projetamos V3 sobre W1 e W2 e subtraímos ambos de V3:
projW1(V3) =lang<= V3,W1rang<=lang<= W1,W1rang<=W1 =161-21 =1/6-1/31/6,
projW2(V3) =lang<= V3,W2rang<=lang<= W2,W2rang<=W2 =1210-1 =1/20-1/2
Logo
W3 =V3 -projW1(V3) -projW2(V3) =100 -1/6-1/31/6 -1/20-1/2 =1/31/31/3

Passo 4

Podemos multiplicar W3 por 3 (escala não afeta a ortogonalidade nem a independência) para evitar frações e obter
W3'=111
Verificamos que lang<= W3',W1rang<==0 e lang<= W3',W2rang<==0, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

Uma base ortogonal de R^3 obtida é
W1=1-21, W2=10-1, W3=111

Exercícios relacionados