Considere a cônica cuja equação em coordenadas cartesianas
é dada por
(a) Determine o (os) vértice (vértices) desta cônica;
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede (a) os vértices e (b) os focos. Aqui o conteúdo é identificação de uma elipse através de “completar quadrados” e, em seguida, uso da forma canônica
para extrair centro, semi-eixos, vértices e focos.
Passo 2
Vamos completar quadrados em
e
. Escrevemos
Em cada parêntese:
Substituindo:
Passo 3
Expandindo e reorganizando:
Dividindo por
obtemos a forma canônica da elipse:
Dessa forma, o centro é
, o semi-eixo maior é
(alongamento em ) e o semi-eixo menor é
.
(alongamento em
Passo 4
Os vértices da elipse ficam no eixo maior, horizontal, a uma distância
do centro. Logo:
Passo 5
Para os focos de uma elipse temos
Eles também estão sobre o eixo maior, a distância
do centro:
Resposta
(a) Os vértices são
e
.
(b) Os focos são e
.
(b) Os focos são