Considere a cônica cuja equação em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
3 x^2-18 x+4 y^2+8 y+19=0
(a) Determine o (os) vértice (vértices) desta cônica;
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
3x^2-18x+4y^2+8y+19=0
e pede (a) os vértices e (b) os focos. Aqui o conteúdo é identificação de uma elipse através de “completar quadrados” e, em seguida, uso da forma canônica
(x-h)^2a^2+(y-k)^2b^2=1
para extrair centro, semi-eixos, vértices e focos.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e y. Escrevemos
3l(x^2-6xr)+4l(y^2+2yr)+19=0
Em cada parêntese:
x^2-6x=(x-3)^2-9, y^2+2y=(y+1)^2-1
Substituindo:
3l((x-3)^2-9r)+4l((y+1)^2-1r)+19=0

Passo 3

Expandindo e reorganizando:
3(x-3)^2-27+4(y+1)^2-4+19=0 Longrightarrow 3(x-3)^2+4(y+1)^2=12
Dividindo por 12 obtemos a forma canônica da elipse:
(x-3)^24+(y+1)^23=1
Dessa forma, o centro é (3,-1), o semi-eixo maior é
a=raiz4=2
(alongamento em x) e o semi-eixo menor é
b=raiz3.

Passo 4

Os vértices da elipse ficam no eixo maior, horizontal, a uma distância a=2 do centro. Logo:
V1=(3+2,,-1)=(5,-1), V2=(3-2,,-1)=(1,-1)

Passo 5

Para os focos de uma elipse temos
c^2=a^2-b^2=4-3=1 Longrightarrow c=1
Eles também estão sobre o eixo maior, a distância c=1 do centro:
F1=(3+1,,-1)=(4,-1), F2=(3-1,,-1)=(2,-1)

Resposta

(a) Os vértices são (5,-1) e (1,-1).
(b) Os focos são (4,-1) e (2,-1).

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