Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
4 x^2+9 y=144
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica de equação
4x^2+9y=144
e pede: (a) identificar de que tipo de cônica se trata; (b) determinar o(s) foco(s). Vamos usar os conceitos de classificação de cônicas pelo grau de cada variável e a forma padrão da parábola.

Passo 2

Percebemos que só x aparece ao quadrado e y aparece de forma linear. Isso caracteriza uma parábola com eixo paralelo ao eixo y.

Passo 3

Isolamos y para encontrar o vértice:
9y = 144 - 4x^2 Longrightarrow y = 16 - 49,x^2
Logo, o vértice é o ponto (0,16).

Passo 4

Reescrevemos em forma padrão de parábola vertical. Partindo de
y - 16 = -49,x^2
multiplicamos ambos os lados por -tfrac94:
x^2 = -94,l(y - 16r)
Na forma padrão x^2=4p,(y-k), temos 4p = -tfrac94, isto é,
p = -916
O sinal negativo indica que a parábola abre para baixo.

Passo 5

Para uma parábola vertical x^2=4p(y-k) com vértice em (h,k), o foco é
l(h,;k+pr)
Aqui h=0, k=16 e p=-tfrac916, logo o foco é
l(0,;16 - 916r) = l(0,;256 - 916r) = l(0,;24716r)

Resposta

(a) É uma parábola que abre para baixo.
(b) O foco é l(0,tfrac24716r).

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