Considere a elipse de focos (1,0) e (0,-1). Sabendo que a distância entre os vértices dessa elipse é 2:
(a) Determine os vértices da elipse.
(b) Em quais valores a elipse corta o eixo y?

Passo 1

O enunciado define uma elipse como o lugar geométrico dos pontos P tais que
PF1 + PF2 = 2a,
onde F1=(1,0) e F2=(0,-1). Diz ainda que a distância entre os vértices é 2, ou seja, 2a=2, e pede (a) os vértices da elipse e (b) onde ela corta o eixo y. Vamos usar a definição de elipse, achar a, o centro, a direção do eixo maior e depois resolver para x=0.

Passo 2

Como 2a=2, temos
a = 1
O centro da elipse é o ponto médio dos focos:
C = l(tfrac1+02,,tfrac0+(-1)2r) = l(tfrac12,,-tfrac12r)
A distância do centro a cada foco é
c = raizl(1-tfrac12r)^2 + l(0 + tfrac12r)^2 = raiztfrac14 + tfrac14 = tfrac1raiz2
Como em toda elipse b = raiza^2 - c^2, segue
b = raiz1 - tfrac12 = tfrac1raiz2
O eixo maior é a reta que une F1 a F2, cujo vetor direção é (1,1). O versor nessa direção é
u = (1,1)raiz2

Passo 3

Os vértices são os extremos do eixo maior a uma distância a do centro C. Logo
V1,2 = C pm a, u = l(tfrac12,,-tfrac12r)pm l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)
Isto é,
V1=l(tfrac12+tfrac1raiz2,,-tfrac12+tfrac1raiz2r), V2=l(tfrac12-tfrac1raiz2,,-tfrac12-tfrac1raiz2r)

Passo 4

Para achar onde a elipse corta o eixo y, tomamos x=0 e usamos
raiz(0-1)^2 + y^2 + raiz0^2 + (y+1)^2 = 2
Isso dá
raiz1+y^2 + |y+1| = 2
Caso 1: y>= -1 então |y+1|=y+1 e
raiz1+y^2 = 2 - (y+1) = 1-y
Elevando ao quadrado:
1 + y^2 = (1-y)^2 = 1 -2y + y^2 ;Longrightarrow; y=0
Caso 2: y< -1 então |y+1|=-(y+1) e
raiz1+y^2 = 2 + (y+1) = y+3
Ao quadrado:
1 + y^2 = (y+3)^2 = y^2 +6y +9 ;Longrightarrow; 6y = -8 ;Longrightarrow; y = -tfrac43
São duas interseções: (0,0) e (0,-tfrac43).

Resposta

(a) V1=(12+1raiz2,,-12+1raiz2)
\quad e\quad
V2=(12-1raiz2,,-12-1raiz2).
(b) A elipse corta o eixo y em (0,0) e (0,-43).

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