Considere a elipse de focos
e
. Sabendo que a distância entre os vértices dessa elipse é 2:
(a) Determine os vértices da elipse.
(b) Em quais valores a elipse corta o eixo y?
(a) Determine os vértices da elipse.
(b) Em quais valores a elipse corta o eixo y?
Passo 1
O enunciado define uma elipse como o lugar geométrico dos pontos
tais que
onde
e
. Diz ainda que a distância entre os vértices é
, ou seja,
, e pede (a) os vértices da elipse e (b) onde ela corta o eixo
. Vamos usar a definição de elipse, achar
, o centro, a direção do eixo maior e depois resolver para
.
Passo 2
Como
, temos
O centro da elipse é o ponto médio dos focos:
A distância do centro a cada foco é
Como em toda elipse
, segue
O eixo maior é a reta que une
a
, cujo vetor direção é
. O versor nessa direção é
Passo 3
Os vértices são os extremos do eixo maior a uma distância
do centro
. Logo
Isto é,
Passo 4
Para achar onde a elipse corta o eixo
, tomamos
e usamos
Isso dá
Caso
:
então
e
Elevando ao quadrado:
Caso
:
então
e
Ao quadrado:
São duas interseções:
e
.
Resposta
(a)
\quad e\quad
.
(b) A elipse corta o eixo em
e
.
\quad e\quad
(b) A elipse corta o eixo