Considere a cônica
4 y^2+12 y-2 x^2-4 x-1=0
(a) Determine os focos desta cônica;
(b) Qual a distância entre os vértices desta cônica?

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4y^2+12y-2x^2-4x-1=0
O objetivo é reconhecer que se trata de uma hipérbole, levá-la à forma padrão completando quadrados, identificar o centro (h,k), os parâmetros a^2 e b^2, usar c^2=a^2+b^2 e então obter focos e vértices.

Passo 2

Agrupamos os termos em y e em x e completamos quadrados:
4l(y^2+3yr);-;2l(x^2+2xr);-;1=0
Como
y^2+3y=(y+tfrac32)^2-tfrac94, x^2+2x=(x+1)^2-1,
substituímos:
4l((y+tfrac32)^2-tfrac94r) -2l((x+1)^2-1r) -1=0

Passo 3

Distribuindo e somando constantes, obtemos
4(y+tfrac32)^2-2(x+1)^2-8=0 Longrightarrow 4(y+tfrac32)^2-2(x+1)^2=8
e dividindo por 8:
(y+tfrac32)^22 -(x+1)^24 =1
Esta é a forma padrão de uma hipérbole de eixo vertical, com centro
(h,k)=l(-1,-tfrac32r),
e a^2=2, b^2=4.

Passo 4

Para hipérbole vertical vale
c^2=a^2+b^2=2+4=6,
logo
c=raiz6
Os focos ficam no eixo y passando pelo centro, isto é,
F1,2=l(h,;kpm cr) =l(-1,;-tfrac32pmraiz6r)

Passo 5

Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo y, então
V1,2=l(-1,;-tfrac32pmraiz2r)
A distância entre eles é 2a:
2a=2raiz2

Resposta

(a) Os focos são
l(-1,-tfrac32+raiz6r) e l(-1,-tfrac32-raiz6r)
(b) A distância entre os vértices é
2raiz2

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