Faça um esboço, no plano cartesiano, das curvas cujas equações paramétricas são dadas por:
(a)
l x=(2+cos (4 t)) cos (t) y=(2+cos (4 t)) sen(t) , t in[0,2 pi]
(b)
l x=e^t+e^-t y=e^t-e^-t , t in R

Passo 1

O enunciado pede para esboçar duas curvas dadas em forma paramétrica. Na parte (a) temos
x=(2+cos(4t))cos(t), y=(2+cos(4t))sin(t), tin[0,2pi],
o que em coordenadas polares equivale a
r=2+cos(4t), theta=t
Na parte (b) temos
x=e^t+e^-t, y=e^t-e^-t, tinR,
que veremos se transforma numa hipérbole.

Passo 2

Para a curva (a), note que em polares r=2+cos(4theta). Isso significa:
1. cos(4theta) varia entre -1 e 1, logo r varia entre 1 e 3.
2. Os máximos ocorrem quando cos(4theta)=1, ou seja em theta=kpi/2, dando pontos em (pm3,0) e (0,pm3).
3. Os mínimos ocorrem quando cos(4theta)=-1, ou seja em theta=pi/4+!kpi/2, dando pontos em l(pmraiz22,pmraiz22r).
4. A curva é fechada e possui simetria 4-vezes rotacional em torno da origem.
Assim, ao desenhar, faz‐se um “anel” arredondado com quatro protuberâncias máximas nos eixos e quatro reentrâncias nos ângulos de 45^circ.

Passo 3

Para a curva (b), elimine t:
x=e^t+e^-t, y=e^t-e^-t ;Longrightarrow; x^2-y^2=(e^t+e^-t)^2-(e^t-e^-t)^2=4
Logo a curva é a hipérbole
x^2 - y^2 = 4
Como e^t+e^-t>=2 para todo t, temos x>=2: apenas o ramo à direita da hipérbole. Para tto+infty, ysim xto+infty; para tto-infty, ysim -xto -infty; e em t=0 passa por (2,0).

Resposta

(a) Curva fechada de perfil “arredondado” com quatro saliências nas direções dos eixos coordenados (pontos (pm3,0), (0,pm3)) e quatro reentrâncias a 45^circ (pontos (pmraiz22,pmraiz22)).
(b) Ramo direito da hipérbole x^2-y^2=4, com vértice em (2,0) e assíntotas y=pm x.

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