Considere a cônica cuja equação em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
y^2-x^2+2 x-5=0
(a) Determine o (os) vértice (vértices) desta cônica;
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
y^2-x^2+2x-5=0
e pede os vértices e focos. Vamos completar quadrados e reconhecer a forma canônica de uma hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 2

Reescrevendo e completando o quadrado em x:
y^2-x^2+2x-5=0
y^2-l(x^2-2xr)-5=0
y^2-l((x-1)^2-1r)-5=0
y^2-(x-1)^2+1-5=0
y^2-(x-1)^2=4
Dividindo por 4, fica
y^24-(x-1)^24=1
Isto é uma hipérbole de centro (1,0), com semi-eixo transverso a=2 (na direção y) e semi-eixo conjugado b=2.

Passo 3

Os vértices ficam a uma distância a=2 do centro ao longo do eixo y. Logo
V1=(1,,0+2)=(1,2), V2=(1,,0-2)=(1,-2)

Passo 4

Para os focos usamos
c^2=a^2+b^2=2^2+2^2=8, c=2raiz2
Eles ficam no eixo y a partir do centro, ou seja
F1=(1,,0+2raiz2)=(1,2raiz2), F2=(1,,0-2raiz2)=(1,-2raiz2)

Resposta

Vértices: (1,2) e (1,-2)
Focos: (1,2raiz2) e (1,-2raiz2)

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