Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
(x-1)^22-(y+1)^26=1
(a) Determine as assintotas desta cônica;
(b) Determine os focos desta cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
(x-1)^22-(y+1)^26=1
que é uma hipérbole com centro deslocado para (1,-1). Vamos precisar:
– reconhecer os parâmetros a^2 e b^2;
– usar a fórmula das assintotas de uma hipérbole centrada em (h,k);
– calcular os focos usando c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Identificamos na forma padrão
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1
os valores
h=1, k=-1, a^2=2, b^2=6
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a=raiz2, b=raiz6
E o parâmetro para os focos é
c^2=a^2+b^2=2+6=8, c=2raiz2

Passo 3

As assintotas de uma hipérbole horizontal centrada em (h,k) são dadas por
y-k=pmba(x-h)
Aqui tfracba=tfracraiz6raiz2=raiz3, h=1 e k=-1. Portanto,
y+1=pmraiz3,(x-1)
Em forma explícita:
y=-1+raiz3,(x-1) e y=-1-raiz3,(x-1)

Passo 4

Os focos de uma hipérbole horizontal estão em
(hpm c,;k)
Como h=1, k=-1 e c=2raiz2, os focos são
l(1+2raiz2,,-1r) e l(1-2raiz2,,-1r)

Resposta

(a) As assintotas são
y+1=raiz3,(x-1) e y+1=-raiz3,(x-1)
(b) Os focos são
l(1+2raiz2,,-1r) e l(1-2raiz2,,-1r)

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