Considere a cônica de equação cartesianas y^2+2 y+8 x^2-7=0.
(a) Determine os focos desta cônica;
(b) Qual a distância entre os vértices desta cônica?

Passo 1

O enunciado dá a cônica
y^2 + 2y + 8x^2 - 7 = 0
e pede (a) os focos e (b) a distância entre os vértices.
Conteúdo: identificação de elipse por completar quadrado e uso das fórmulas
c = raizb^2-a^2, focos: (h,kpm c), vértices: (h,kpm b) é

Passo 2

Complete o quadrado em y:
y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1,
logo a equação vira
(y+1)^2 - 1 + 8x^2 - 7 = 0 Longrightarrow (y+1)^2 + 8x^2 = 8

Passo 3

Divida por 8 para obter a forma padrão:
x^21 + (y+1)^28 = 1
Aqui o centro é (0,-1), e os semi-eixos são
a = 1, b = raiz8 = 2raiz2,
com b>a, então o eixo maior é vertical.

Passo 4

Calcule
c = raizb^2 - a^2 = raiz8 - 1 = raiz7
Os focos ficam em
(0,,-1 + raiz7) e (0,,-1 - raiz7)

Passo 5

Os vértices, ao longo do eixo maior, são
(0,,-1 + b) e (0,,-1 - b),
isto é
(0,,-1 + 2raiz2) e (0,,-1 - 2raiz2)
A distância entre eles é
2b = 2cdot 2raiz2 = 4raiz2

Resposta

(a) Focos em (0,-1pmraiz7).
(b) Distância entre vértices: 4raiz2.

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