Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
x^2-10 x+2 y+23=0
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica de equação
x^2-10x+2y+23=0
e pede (a) sua identificação e (b) o(s) foco(s). O conteúdo envolve completar o quadrado em x para verificar o tipo de cônica e depois colocar em forma canônica de parábola para achar o foco.

Passo 2

Complete o quadrado no termo em x:
x^2-10x = (x-5)^2 - 25
Substituindo na equação original:
(x-5)^2 -25 +2y +23 = 0

Passo 3

Simplifique para isolar y:
(x-5)^2 +2y -2 = 0 Longrightarrow 2y = - (x-5)^2 +2 Longrightarrow y = -tfrac12 (x-5)^2 +1
Isso é a forma canônica de uma parábola de eixo vertical que abre para baixo.

Passo 4

Escreva na forma padrão
(x-5)^2 = -2,(y-1)
Comparando com (x-h)^2 = -2p,(y-k), vemos
h=5, k=1, 2p=2;Longrightarrow;p=1,
e o sinal “ -” indica que a parábola abre para baixo.

Passo 5

Para parábola de vértice (h,k) e parâmetro p abrindo para baixo, o foco está em
(h,;k - p) = (5,;1 - 1) = (5,0)

Resposta

(a) É uma parábola que abre para baixo.
(b) O foco é (5,0).

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