Considere a cônica de equação
r=63+sen(theta)
(a) Determine o(s) vertice(s) da cônica.
(b) Determine o(s) foco(s) da cônica.

Passo 1

O enunciado dá uma cônica em coordenadas polares
r=63+sen(theta)
e pede os vértices e os focos. Vamos usar a conversão para coordenadas cartesianas e reconhecer que essa é a forma
r=ep1+esen(theta)
com foco na origem, identificar e e p, passar para a forma padrão de uma elipse e então achar centros, vértices e focos.

Passo 2

Passamos para cartesianas usando r=raizx^2+y^2 e sen(theta)=y/r.
rl(3+yrr)=6 Longrightarrow 3raizx^2+y^2+y=6
Elevando ao quadrado:
9(x^2+y^2)=(6-y)^2 Longrightarrow 9x^2+9y^2=36-12y+y^2
Longrightarrow 9x^2+8y^2+12y-36=0

Passo 3

Completa-se o quadrado em y.
9x^2+8l(y^2+32yr)-36=0 Longrightarrow 9x^2+8l[(y+tfrac34)^2-tfrac916r]-36=0
Longrightarrow 9x^2+8(y+tfrac34)^2-4,5-36=0 Longrightarrow 9x^2+8(y+tfrac34)^2=40,5
Dividindo por 40,5:
x^24,5+(y+tfrac34)^240,5/8=1 Longrightarrow x^29/2+(y+tfrac34)^281/16=1
Aqui o centro é l(0,-tfrac34r). Como 81/16>9/2, temos a^2=81/16 e b^2=9/2, ou seja
a=94, b=3raiz2

Passo 4

Os vértices estão sobre o eixo maior (vertical), a distância a acima e abaixo do centro:
l(0,-tfrac34+tfrac94r)=(0,tfrac64)=(0,tfrac32), l(0,-tfrac34-tfrac94r)=(0,-3)

Passo 5

O parâmetro focal é
c=raiza^2-b^2 =raiz8116-92 =raiz81-7216 =34
Os focos ficam então em
l(0,-tfrac34+tfrac34r)=(0,0), l(0,-tfrac34-tfrac34r)=(0,-tfrac32)

Resposta

Vértices: (0,tfrac32) e (0,-3).
Focos: (0,0) e (0,-tfrac32).

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