Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=12-2 sen(theta)
(a) Determine o (os) vértice (vértices) desta cônica;
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica em coordenadas polares
r = 12 - 2sin(theta)
e pede seus vértices e focos.
O conteúdo aqui é transformar para coordenadas cartesianas, identificar que tipo de cônica é (aqui dá uma parábola) e então usar a forma padrão de uma parábola para extrair vértice e foco.

Passo 2

Começamos substituindo r = raizx^2 + y^2 e rsin(theta)=y na equação polar:
rl(2 - 2sinthetar)=1 ;Longrightarrow; 2r - 2rsintheta = 1 ;Longrightarrow; 2raizx^2+y^2 - 2y = 1 ;Longrightarrow; 2raizx^2+y^2 = 1 + 2y

Passo 3

Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz (lembrando que isso não altera a forma da parábola):
l(2raizx^2+y^2r)^2 = (1 + 2y)^2 ;Longrightarrow; 4(x^2+y^2) = 1 + 4y + 4y^2 ;Longrightarrow; 4x^2 + 4y^2 = 1 + 4y + 4y^2 ;Longrightarrow; 4x^2 = 1 + 4y ;Longrightarrow; x^2 = y + tfrac14
Reescrevendo,
y = x^2 - tfrac14,
que é a equação de uma parábola com eixo vertical, vértice em (0,-tfrac14) e que abre para cima.

Passo 4

Na forma padrão de uma parábola de eixo vertical
x^2 = 4p,(y - y0),
temos aqui
x^2 = 1cdotl(y + tfrac14r) Longrightarrow 4p = 1 ;Longrightarrow; p = tfrac14
O vértice é (0,y0)=(0,-tfrac14) e, como a parábola abre para cima, o foco está a uma distância p acima do vértice:
foco = l(0,,-tfrac14 + tfrac14r) = (0,0)

Resposta

(a) O vértice é (0,-tfrac14).
(b) O foco é (0,0).

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