Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=11-cos (theta)
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares por
r = 11 - cos(theta)
O conteúdo envolve identificação de conicas em forma polar e, em seguida, achar o foco passando para coordenadas cartesianas.

Passo 2

A forma geral de uma cônica com foco na origem é
r = e,d1 + ecos(theta - theta0) ou r = e,d1 - ecos(theta - theta0)
Comparando com
r = 11 - costheta
vemos que o coeficiente de costheta no denominador é 1, logo a excentricidade é
e = 1
Isto caracteriza uma parábola.

Passo 3

Para achar o foco, convertemos para coordenadas cartesianas. Sabendo que
r = raizx^2 + y^2 e rcostheta = x, multiplicamos a definição por (1 - costheta):
r(1 - costheta) = 1 Longrightarrow raizx^2 + y^2 - x = 1

Passo 4

Isolando e elevando ao quadrado:
raizx^2 + y^2 = 1 + x Longrightarrow x^2 + y^2 = (1 + x)^2 = x^2 + 2x + 1 Longrightarrow y^2 = 2x + 1
Reescrevendo
y^2 = 2l(x + tfrac12r),
vemos que é uma parábola com vértice em l(-tfrac12,0r) e parâmetro focal a=tfrac12. O foco fica a uma distância a à direita do vértice, ou seja, em
l(-tfrac12 + tfrac12,;0r) = (0,0)

Resposta

(a) É uma parábola.
(b) O foco é o ponto (0,0).

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