Sejam
subespaços de
.
Encontre uma base e a dimensão de
e de
.
Encontre uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
, que é um plano, e
.
Queremos uma base e a dimensão de e de
.
O conteúdo utilizado será: parametrização de planos, redução de geradores para achar bases, sistema linear para a interseção e a fórmula
Queremos uma base e a dimensão de
O conteúdo utilizado será: parametrização de planos, redução de geradores para achar bases, sistema linear para a interseção e a fórmula
Passo 2
Encontrar base e dimensão de
.
A equação dá
, então podemos tomar parâmetros
,
.
A equação
Logo uma base de
é
e
.
Passo 3
Encontrar base e dimensão de
que tem solução , logo uma dependência
.
Portanto
e podemos tomar, por exemplo,
como base de
.
Passo 4
Determinar
.
Um vetor genérico em é
Um vetor genérico em
Impondo a condição de
:
Logo
é gerado por
.
Assim uma base de é
Assim uma base de
e
.
Passo 5
Determinar
.
Pela fórmula de dimensão,
Pela fórmula de dimensão,
Como estamos em
, isso mostra que
.
Uma base de pode ser obtida juntando vetores independentes de
e de
. Por exemplo,
Uma base de
são três vetores linearmente independentes (verificação do determinante
), logo formam base de
.
Resposta
Base de
:
,
.
Base de :
,
.
Base de