Sejam U=(x, y, z) in R^3: x-2 y+z=0 e V=[(1,1,1),(1,-1,2),(0,2,-1)] subespaços de R^3.
Encontre uma base e a dimensão de U+V e de U cap V.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
U=(x,y,z)mid x-2y+z=0, que é um plano, e
V=span(1,1,1),(1,-1,2),(0,2,-1).
Queremos uma base e a dimensão de U+V e de Ucap V.
O conteúdo utilizado será: parametrização de planos, redução de geradores para achar bases, sistema linear para a interseção e a fórmula
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)

Passo 2

Encontrar base e dimensão de U.
A equação x-2y+z=0 x=2y-z, então podemos tomar parâmetros y=s, z=t.
(x,y,z)=(2s-t,;s,;t)=s,(2,1,0)+t,(-1,0,1)
Logo uma base de U é
(2,1,0),;(-1,0,1),
e dim U=2.

Passo 3

Encontrar base e dimensão de
que tem solução , logo uma dependência .
Portanto e podemos tomar, por exemplo,
como base de .

Passo 4

Determinar Ucap V.
Um vetor genérico em V é
alpha,(1,-1,2)+beta,(0,2,-1) =(alpha,,-alpha+2beta,;2alpha-beta)
Impondo a condição de U:
alpha-2(-alpha+2beta)+(2alpha-beta)=0 ;Longrightarrow; alpha+2alpha-4beta+2alpha-beta=0 ;Longrightarrow; 5alpha-5beta=0 ;Longrightarrow; alpha=beta
Logo Ucap V é gerado por alphal((1,-1,2)+(0,2,-1)r)=alpha(1,1,1).
Assim uma base de Ucap V é
(1,1,1),
e dim(Ucap V)=1.

Passo 5

Determinar U+V.
Pela fórmula de dimensão,
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)=2+2-1=3
Como estamos em R^3, isso mostra que U+V=R^3.
Uma base de U+V pode ser obtida juntando vetores independentes de U e de V. Por exemplo,
(2,1,0),,(-1,0,1),,(1,-1,2)
são três vetores linearmente independentes (verificação do determinante neq 0), logo formam base de U+V.

Resposta

Base de U+V: (2,1,0),,(-1,0,1),,(1,-1,2), dim(U+V)=3.
Base de Ucap V: (1,1,1), dim(Ucap V)=1.

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