Considere a cônica cujas equações paramêtricas são dadas por
l x=sec (t)-1 y=3 tan (t)+1 , t in[0,2 pi), t neq pi2, t neq 3 pi2
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x = sec(t)-1, y = 3tan(t)+1,
para tin[0,2pi), excluindo t=pi2,3pi2.
Queremos (a) identificar que tipo de cônica isso gera e (b) achar o(s) foco(s).
Vamos converter para forma cartesiana usando a identidade trigonométrica sec^2t-tan^2t=1.

Passo 2

Isolamos sec(t) e tan(t) em termos de x e y:
sec(t)=x+1, tan(t)=y-13

Passo 3

Aplicando sec^2t-tan^2t=1 e substituindo obtemos
(x+1)^2 ;-;l(y-13r)^2 ;=;1
Reescrevendo em forma padrão, fica
(x+1)^21 ;-;(y-1)^29 ;=;1

Passo 4

A equação
(x+1)^2a^2-(y-1)^2b^2=1
é de uma hipérbole com
a^2=1, b^2=9,
centro em (-1,1) e eixo transverso paralelo ao eixo x.
O parâmetro c que determina a distância do centro aos focos satisfaz
c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 9 = 10,
logo c = raiz10.

Passo 5

Os focos de uma hipérbole horizontal com centro (h,k) são
l(hpm c,,kr)
Aqui h=-1, k=1 e c=raiz10, então os focos são
l(-1+raiz10,,1r) e l(-1-raiz10,,1r)

Resposta

(a) É uma hipérbole.
(b) Os focos são l(-1+raiz10,1r) e l(-1-raiz10,1r).

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