Considere a cônica cujas equações paramêtricas são dadas por
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
Passo 1
O enunciado dá as parametrizações
para
, excluindo
.
Queremos (a) identificar que tipo de cônica isso gera e (b) achar o(s) foco(s).
Vamos converter para forma cartesiana usando a identidade trigonométrica .
Queremos (a) identificar que tipo de cônica isso gera e (b) achar o(s) foco(s).
Vamos converter para forma cartesiana usando a identidade trigonométrica
Passo 2
Isolamos
e
em termos de
e
:
Passo 3
Aplicando
e substituindo obtemos
Reescrevendo em forma padrão, fica
Passo 4
A equação
é de uma hipérbole com
centro em
e eixo transverso paralelo ao eixo
.
O parâmetro que determina a distância do centro aos focos satisfaz
O parâmetro
logo
.
Passo 5
Os focos de uma hipérbole horizontal com centro
são
Aqui
,
e
, então os focos são
Resposta
(a) É uma hipérbole.
(b) Os focos são e
.
(b) Os focos são