Determine se cada afirmaçäo abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
A matriz [rr-12 & 4 2 & -1] pertence ao espaço gerado por S, onde
S=[rr 1 & -1 2 & 1 ],[rr -1 & 0 2 & 0 ],[rr -3 & 1 0 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
A = -12 & 4 [4pt] 2 & -1
pertence ao espaço gerado por
S=lM1,,M2,,M3r com M1=1 & -1 [4pt]2 & 1,; M2=-1 & 0 [4pt]2 & 0,; M3=-3 & 1 [4pt]0 & 0
O conteúdo é espaço vetorial de matrizes 2times2 e a condição de pertencimento é existir escalares x,y,z tais que
x,M1 + y,M2 + z,M3 = A
]

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando entradas temos o sistema
x - y - 3z = -12, -x + z = 4, 2x +2y = 2, x = -1,
onde as equações correspondem respectivamente às posições (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2).

Passo 3

Da equação (2,2) obtemos imediatamente
x = -1

Passo 4

Substituindo x=-1 na equação (2,1), ou seja 2x+2y=2, vem
2(-1) + 2y = 2 Longrightarrow y = 2

Passo 5

Ainda com x=-1, usamos a equação (1,2), ou seja -x+z=4, para achar
-(-1) + z = 4 Longrightarrow z = 3
Finalmente, conferimos na equação (1,1):
x - y - 3z = -1 - 2 - 9 = -12,
que bate com o lado direito -12. Logo a combinação é consistente.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois
A = (-1),M1 + 2,M2 + 3,M3,
mostrando que A pertence a span(S).

Exercícios relacionados