Determine se cada afirmaçäo abaixo é verdadeira ou falsa. Se for falsa dê um contraexemplo ou mostre que é falsa. Se for verdadeira, justifique.
A matriz
pertence ao espaço gerado por
S , onde
S=[rr 1 & -1 2 & 1 ],[rr -1 & 0 2 & 0 ],[rr -3 & 1 0 & 0 ]
A matriz
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
pertence ao espaço gerado por
O conteúdo é espaço vetorial de matrizes
2times2 e a condição de pertencimento é existir escalares
x,y,z tais que
]
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e igualando entradas temos o sistema
onde as equações correspondem respectivamente às posições
(1,1) ,
(1,2) ,
(2,1) e
(2,2) .
Passo 3
Da equação
(2,2) obtemos imediatamente
Passo 4
Substituindo
x=-1 na equação
(2,1) , ou seja
2x+2y=2 , vem
Passo 5
Ainda com
x=-1 , usamos a equação
(1,2) , ou seja
-x+z=4 , para achar
Finalmente, conferimos na equação
(1,1) :
que bate com o lado direito
-12 . Logo a combinação é consistente.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois
mostrando que
A pertence a
span(S) .