Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=21+3 sen(theta)
(a) Determine o (os) vértice (vertíces) dessa cônica.
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica em coordenadas polares pela equação
r = 21 + 3,sen(theta)
Aqui reconhecemos a forma padrão
r = e,d1 + e,sen(theta),
onde e é a excentricidade e d é a distância do foco (no polo) à reta diretriz. Como e=3>1, trata-se de uma hipérbole com um dos focos na origem.

Passo 2

Identificamos e e d comparando
e,d1 + e,sen(theta) = 21 + 3,sen(theta)
Logo
e = 3, e,d = 2 ;Longrightarrow; d = 23

Passo 3

Os vértices de uma hipérbole em forma polar r=e,d1+esentheta estão sobre o eixo de simetria vertical ( theta=tfracpi2 e theta=tfrac3pi2).
Para theta=tfracpi2:
r1 = 21 + 3cdot1 = 24 = 12
Para theta=tfrac3pi2:
r2 = 21 + 3cdot(-1) = 2-2 = -1

Passo 4

Convertendo para coordenadas cartesianas (x,y) = (rcostheta,,rsentheta):
  • No vértice 1, theta=tfracpi2 e r=tfrac12: x1 = 0, y1 = tfrac12cdot1 = tfrac12
  • No vértice 2, theta=tfrac3pi2 e r=-1: x2 = -1cdot0 = 0, y2 = -1cdot(-1) = 1
Portanto os vértices são (0,tfrac12) e (0,1).

Passo 5

Para a hipérbole, o semi-eixo transverso é
a = distância entre vértices2 = |1 - tfrac12|2 = 1/22 = 14 âé
Sabendo e=3, o semi-eixo focal é
c = e,a = 3cdot14 = 34
O centro está no ponto médio dos vértices:
l(0,tfrac12 + tfrac1 - 1/22r) = l(0,tfrac34r)
Os focos estão a c acima e abaixo do centro, ou seja em
l(0,tfrac34 + tfrac34r) = l(0,tfrac32r) e l(0,tfrac34 - tfrac34r) = (0,0)

Resposta

(a) Os vértices são (0,tfrac12) e (0,1).
(b) Os focos são (0,0) e (0,tfrac32).

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