Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
x=8(y-2)^2
(a) Determine o foco desta cônica;
(b) Determine a diretriz desta cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x = 8(y-2)^2
que é uma parábola com eixo paralelo ao eixo x. Vamos usar a forma padrão de uma parábola com vértice (h,k):
(y-k)^2 = 4p(x-h),
onde o foco é (h+p,k) e a diretriz é x = h - p.

Passo 2

Reescrevemos a equação dada na forma padrão. Partindo de
x = 8(y-2)^2
movemos o fator de 8 para o outro lado, obtendo
(y-2)^2 = 18,x

Passo 3

Comparamos
(y-2)^2 = 18,x
com
(y-k)^2 = 4p(x-h)
e identificamos
h = 0, k = 2, 4p = 18 Longrightarrow p = 132

Passo 4

O vértice é (h,k) = (0,2).
  • O foco fica em (h+p,k), ou seja,
l(0+tfrac132,,2r) = l(tfrac132,,2r)
  • A diretriz é a reta
x = h - p = 0 - 132 Longrightarrow x = -tfrac132

Resposta

(a) O foco é l(tfrac132,2r).
(b) A diretriz é x=-tfrac132.

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