Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
-x+12 y^2+24 y+14=0
(a) Determine o (os) vértice (vértices) desta cônica;
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
-x + 12y^2 + 24y + 14 = 0
que tem só termo quadrático em y, logo é uma parábola com eixo paralelo a x. Vamos completar o quadrado em y para pôr na forma padrão (y-k)^2 = 4p(x-h), o que nos dará vértice (h,k) e parâmetro p.

Passo 2

Isolamos x e completamos o quadrado em y:
x = 12y^2 + 24y + 14 = 12l(y^2 + 2yr) + 14 = 12l((y+1)^2 - 1r) + 14 = 12(y+1)^2 -12 +14 = 12(y+1)^2 + 2
Logo
x - 2 = 12(y+1)^2

Passo 3

Comparando com
(y-k)^2 = 4p,(x-h),
vemos que k=-1, h=2 e
4p = tfrac112Longrightarrow p = tfrac148
Portanto o vértice é
(h,k) = (2,-1)

Passo 4

Para parábolas do tipo (y-k)^2 = 4p(x-h), o foco é
(h+p,;k) = l(2 + tfrac148,;-1r) = l(tfrac9748,,-1r)

Resposta

Vértice: (2,-1)
Foco: l(tfrac9748,,-1r)

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