Considere a cônica de equação
4 y^2-16 y+16-2 x^2-4 x-2=8
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais os focos dessa cônica?

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4 y^2-16 y+16-2 x^2-4 x-2=8
e pede (a) a identificação do tipo de cônica e (b) os focos. Vamos usar completamento de quadrados para colocar a equação na forma canônica e, em seguida, aplicar as fórmulas de hipérbole.

Passo 2

Reunindo termos e simplificando constantes:
4y^2 -16y +16 -2x^2 -4x -2 -8 =0
4y^2 -16y -2x^2 -4x +6 =0
Dividindo ambos os lados por 2:
2y^2 -8y -x^2 -2x +3=0
Multiplicando por -1:
x^2+2x -2y^2+8y -3=0

Passo 3

Completo quadrados em x e y:
x^2+2x = (x+1)^2 -1, -2y^2+8y = -2l((y-2)^2 -4r) = -2(y-2)^2 +8
Substituindo na equação:
(x+1)^2 -1 ;+; l[-2(y-2)^2 +8r];-;3 =0
(x+1)^2 -2(y-2)^2 +4 =0

Passo 4

Passo para a forma canônica de hipérbole:
(x+1)^2 -2(y-2)^2 = -4 ;Longrightarrow; 2(y-2)^2 - (x+1)^2 = 4 ;Longrightarrow; (y-2)^22 - (x+1)^24 = 1
Isso mostra que é uma hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 5

Na forma
(y-k)^2a^2 - (x-h)^2b^2 = 1
temos
(h,k)=(-1,2), a^2 = 2, b^2 = 4
O parâmetro c (distância focal) satisfaz
c^2 = a^2 + b^2 = 2 + 4 = 6, c = raiz6

Passo 6

Como o eixo transverso é vertical, os focos estão em
(h,;kpm c) = l(-1,;2 pm raiz6r)

Resposta

(a) A cônica é uma hipérbole.
(b) Os focos são l(-1,,2+raiz6r) e l(-1,,2-raiz6r).

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