Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=42+cos (theta)
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Qual o (os) foco (focos) desta cônica?

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica em coordenadas polares pela equação
r = 42 + costheta
Queremos (a) identificar de que tipo de cônica se trata (elipse, parábola, hipérbole, ponto ou duas retas) e (b) achar os focos. O conteúdo envolvido é a forma padrão de uma cônica em coordenadas polares
r = ed1 + ecostheta
onde e é a excentricidade e d determina a distância da diretiz ao foco na origem.

Passo 2

Vamos pôr nossa equação na forma
r = ed1 + ecostheta,
Começamos dividindo numerador e denominador por 2:
r = 42+costheta = 21 + tfrac12,costheta,
Comparando com r = tfraced1 + ecostheta, vemos que
e = tfrac12, ed = 2Longrightarrow d = 2e = 4

Passo 3

A excentricidade é e=tfrac12<1. Portanto a cônica é uma elipse.

Passo 4

Na elipse polar com foco na origem temos:
– parâmetro p = ed = 2,
– excentricidade e = tfrac12.
Para encontrar os semieixos maiores e a posição dos focos, usamos
a = p1 - e^2 e c = a,e,
onde a é o semieixo maior e c a distância de cada foco ao centro. Como e^2 = tfrac14,
a = 21 - tfrac14 = 2tfrac34 = 83, c = a,e = 83cdot12 = 43

Passo 5

Precisamos achar o centro da elipse e então os dois focos. Sabemos que a diretiz é a reta vertical
x = d = 4
e que, em elipse, a distância do centro à diretiz vale tfracae. Logo se o centro tiver coordenada h em x,
l|,4 - hr| = ae = 83tfrac12 = 163 Longrightarrow h = 4 - 163 = -43
Assim o centro é l(-tfrac43,0r). Os focos ficam nos pontos
l(h pm c,;0r) = l(-tfrac43pm tfrac43,,0r),
isto é
l(0,0r) e l(-tfrac83,0r)

Resposta

(a) É uma elipse.
(b) Os focos são
(0,0) e l(-tfrac83,0r)

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