Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares é dada por
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Qual o (os) foco (focos) desta cônica?
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica em coordenadas polares pela equação
Queremos (a) identificar de que tipo de cônica se trata (elipse, parábola, hipérbole, ponto ou duas retas) e (b) achar os focos. O conteúdo envolvido é a forma padrão de uma cônica em coordenadas polares
onde é a excentricidade e determina a distância da diretiz ao foco na origem.
Passo 2
Vamos pôr nossa equação na forma
Começamos dividindo numerador e denominador por :
Comparando com , vemos que
Passo 3
A excentricidade é . Portanto a cônica é uma elipse.
Passo 4
Na elipse polar com foco na origem temos:
– parâmetro ,
– excentricidade .
Para encontrar os semieixos maiores e a posição dos focos, usamos
onde é o semieixo maior e a distância de cada foco ao centro. Como ,
Passo 5
Precisamos achar o centro da elipse e então os dois focos. Sabemos que a diretiz é a reta vertical
e que, em elipse, a distância do centro à diretiz vale . Logo se o centro tiver coordenada em ,
Assim o centro é l(-tfrac43,0r). Os focos ficam nos pontos