Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=41-3 cos (theta)
Determine o (os) vértice (vertíces) dessa cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r=41-3costheta
que tem foco na origem e excentricidade e=3>1, ou seja, é uma hipérbole. Os vértices são os pontos em que r atinge extremos ao longo do eixo principal (linha de theta=0 pi), então basta encontrar theta tal que dr/dtheta=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de r(theta):
drdtheta =4cdotddthetal(1-3costhetar)^-1 =4cdot(-1)l(-3(-sintheta)r)(1-3costheta)^2 =12sintheta(1-3costheta)^2
Para ter extremo, igualamos a zero:
drdtheta=0 Longrightarrow sintheta=0 Longrightarrow theta=0 ou theta=pi

Passo 3

Agora avaliamos r nesses ângulos:
r(0)=41-3cos0 =41-3=-2,
r(pi)=41-3cospi =41+3=1
Embora em theta=0 o valor seja negativo, ele corresponde a um vértice “atrás” do foco (para theta+ pi) e vale como segundo vértice.

Passo 4

Convertendo para retas cartesianas (x,y) via x=rcostheta, y=rsintheta:
em theta=pi, r=1:
x=1cospi=-1, y=1sinpi=0;
em theta=0, r=-2:
x=(-2)cos0=-2, y=(-2)sin0=0

Resposta

Os vértices da cônica são
(-1,0) e (-2,0)

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