Considere a hipérbole cujas equações paramétricas são dadas por
l x= pm 2 cosh (t)-6 y=6 sinh (t)+2 , t in R
(a) Determine as assíntotas dessa hipérbole;

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole em forma paramétrica
x = pm 2cosh(t) - 6, y = 6sinh(t) + 2, tinR,
e pede suas assíntotas. Para isso, vamos (1) eliminar o parâmetro e achar a forma cartesiana padrão da hipérbole, (2) identificar centro e semi-eixos, e (3) usar a fórmula das assíntotas de uma hipérbole.

Passo 2

Do parâmetro temos
x+6 = pm 2cosh(t), y-2 = 6sinh(t)
Logo
cosh(t) = pmx+62, sinh(t)=y-26
Como vale cosh^2(t)-sinh^2(t)=1, obtemos
(x+62)^2 ;-;(y-26)^2 ;=;1

Passo 3

A comparação com
(x-x0)^2a^2 ;-;(y-y0)^2b^2 =1
revela o centro
(x0,y0)=(-6,2),
o semi-eixo transverso a=2 (horizontal) e o semi-eixo conjugado b=6.

Passo 4

Para hipérbole horizontal com centro (x0,y0), as assíntotas são
y - y0 = pmba,(x - x0)
Aqui tfracba=tfrac62=3, x0=-6 e y0=2. Logo
y-2 = 3(x+6) e y-2 = -3(x+6)
Simplificando,
y = 3x + 20 e y = -3x - 16

Resposta

As assíntotas da hipérbole são
y = 3x + 20
e
y = -3x - 16.

Exercícios relacionados