Considere a hipérbole cujas equações paramétricas são dadas por
l x= pm 2 cosh (t)-6 y=6 sinh (t)+2 , t in R
Determine em quais pontos as assíntotas cortam o eixo O x.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole em forma paramétrica
x = pm 2cosh(t) - 6, y = 6sinh(t) + 2, tinR,
e pede os pontos em que as assíntotas cortam o eixo O x. Vamos primeiro obter as equações das assíntotas, usando o comportamento para ttopminfty.

Passo 2

Para tto+infty temos cosh(t)sime^t2 e sinh(t)sime^t2.
  • No ramo x+6=2cosh(t), y-2=6sinh(t), temos x+6sim e^t, y-2sim3e^t Longrightarrow y-2sim3(x+6) Longrightarrow y = 3x +20
  • No ramo x+6=-2cosh(t), y-2=6sinh(t), temos x+6sim -e^t, y-2sim3e^t Longrightarrow y-2sim-3(x+6) Longrightarrow y = -3x -16
Para tto-infty chegam-se às mesmas duas retas. Logo as assíntotas são
y = 3x +20
e
y = -3x -16

Passo 3

Agora determinamos onde cada uma corta o eixo O x, isto é, em y=0.
  • Em y = 3x +20: 0 = 3x + 20 Longrightarrow x = -tfrac203
  • Em y = -3x -16: 0 = -3x - 16 Longrightarrow x = -tfrac163

Resposta

l(-tfrac203,0r) e l(-tfrac163,0r).

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