Considere a parábola
l x=4 t^2-1 y=t+2 , t in R
(a) Determine a equação da diretriz;
(b) Determine o foco.

Passo 1

Temos a parábola dada em forma paramétrica
x = 4t^2 - 1, y = t + 2,
com tinR.
O objetivo é encontrar a diretriz e o foco.
Para isso vamos (i) eliminar t e obter a equação cartesiana, (ii) colocar na forma padrão (y - k)^2 = 2p(x - h), e (iii) usar as fórmulas do vértice (h,k), do foco l(h+p,kr) e da diretriz x = h - p.

Passo 2

Eliminando t: da segunda equação vem
t = y - 2
Substituindo em x = 4t^2 - 1, obtemos
x = 4(y - 2)^2 - 1

Passo 3

Reescrevemos em forma padrão de vértice. Primeiro isolamos o quadrado de y-2:
x + 1 = 4(y - 2)^2 Longrightarrow (y - 2)^2 = tfrac14(x + 1)
Comparando com
(y - k)^2 = 2p,(x - h),
vemos que
k = 2, h = -1, 2p = tfrac14 Longrightarrow p = tfrac18
Logo o vértice é (h,k)=(-1,2).

Passo 4

Como a parábola abre para a direita, o foco fica em
l(h+p,,kr) = l(-1 + tfrac18,,2r) = l(-tfrac78,,2r)
A diretriz, que é a reta vertical oposta ao foco em relação ao vértice, vem de
x = h - p = -1 - tfrac18 = -tfrac98

Resposta

Diretriz: x = -98
Foco: l(-tfrac78,,2r)

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