Considere a hipérbole de equação
l x=3 tg(t)-1 y=2 sec (t)+1 , t in R
(a) Determine as equações das assíntotas;
(b) Determine os focos.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
x = 3tan t - 1, y = 2sec t + 1, tinR,
e pede (a) as assíntotas e (b) os focos da hipérbole. Vamos primeiro encontrar a equação cartesiana usando a identidade trigonométrica sec^2 t - tan^2 t = 1.

Passo 2

Dê-se
x+13 = tan t e y-12 = sec t
Substituindo em sec^2 t - tan^2 t = 1 obtém-se
(y-12)^2 - (x+13)^2 = 1,
que é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical.

Passo 3

Comparando
(y-1)^22^2 - (x+1)^23^2 = 1
vemos que o centro é C=(-1,1), o semi-eixo transverso é a=2 (vertical) e o semi-eixo conjugado é b=3 (horizontal). As assíntotas de uma hipérbole vertical de centro (x0,y0) são
y - y0 = pm ab,(x - x0),
logo aqui
y - 1 = pm 23(x + 1)

Passo 4

Para os focos usamos c^2 = a^2 + b^2. Assim
c^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13, c = raiz13
Como o eixo transverse é vertical, os focos ficam em
F1,2 = l(-1,;1 pm raiz13r)

Resposta

(a) As assíntotas são
y - 1 = 23(x + 1) e y - 1 = -23(x + 1)
(b) Os focos são
(-1,,1 + raiz13) e (-1,,1 - raiz13)

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