Considere a hipérbole de equação
(a) Determine as equações das assíntotas;
(b) Determine os focos.
(b) Determine os focos.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
e pede (a) as assíntotas e (b) os focos da hipérbole. Vamos primeiro encontrar a equação cartesiana usando a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Dê-se
Substituindo em
obtém-se
que é a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical.
Passo 3
Comparando
vemos que o centro é
, o semi-eixo transverso é
(vertical) e o semi-eixo conjugado é
(horizontal). As assíntotas de uma hipérbole vertical de centro
são
logo aqui
Passo 4
Para os focos usamos
. Assim
Como o eixo transverse é vertical, os focos ficam em
Resposta
(a) As assíntotas são
(b) Os focos são