Considere a cônica de equação polar dada por
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais o focos dessa cônica?
(b) Quais o focos dessa cônica?
Passo 1
O enunciado dá a cônica em coordenadas polares pelo relacionamento
O que se pede é (a) o tipo de cônica (elipse, parábola etc.) e (b) os focos dessa cônica.
Para isso vamos converter para coordenadas cartesianas usando
,
e
, e então comparar com as formas canônicas de cônicas.
Para isso vamos converter para coordenadas cartesianas usando
Passo 2
Isolamos
na equação polar:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Substituindo
e
temos
Elevando ao quadrado:
Passo 3
A equação carteseana obtida é
Compare com a forma canônica de parábola com eixo paralelo a
:
onde o vértice é
e o foco é
. Aqui vemos que
e
, portanto
Logo a cônica é uma parábola (já que
).
Passo 4
Para essa parábola o vértice é
e o foco fica em
Em uma parábola só existe um foco, que aqui coincide com a origem (o polo do sistema polar).
Resposta
(a) É uma parábola.
(b) O único foco é .
(b) O único foco é