Considere a cônica de equação polar dada por
2 r=22-2 cos (theta)
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais o focos dessa cônica?

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares pelo relacionamento
2,r ;=;22-2cos(theta),
O que se pede é (a) o tipo de cônica (elipse, parábola etc.) e (b) os focos dessa cônica.
Para isso vamos converter para coordenadas cartesianas usando
x=rcostheta, y=rsintheta e r=raizx^2+y^2, e então comparar com as formas canônicas de cônicas.

Passo 2

Isolamos r na equação polar:
2r=22-2costheta Longrightarrow r=12(1-costheta)
Multiplicando ambos os lados por 2(1-costheta) obtemos
rl(2-2costhetar)=1 Longrightarrow 2r-2rcostheta=1
Substituindo rcostheta=x e r=raizx^2+y^2 temos
2raizx^2+y^2-2x=1 Longrightarrow 2raizx^2+y^2=1+2x
Elevando ao quadrado:
4(x^2+y^2)=(1+2x)^2=1+4x+4x^2 Longrightarrow 4y^2=1+4x Longrightarrow y^2=x+tfrac14

Passo 3

A equação carteseana obtida é
y^2 = x + tfrac14
Compare com a forma canônica de parábola com eixo paralelo a x:
y^2=4a,(x-h),
onde o vértice é (h,0) e o foco é (h+a,0). Aqui vemos que 4a=1 e h=-tfrac14, portanto
a=tfrac14, h=-tfrac14
Logo a cônica é uma parábola (já que e=1).

Passo 4

Para essa parábola o vértice é l(h,0r)=l(-tfrac14,0r) e o foco fica em
l(h+a,0r)=l(-tfrac14+tfrac14,,0r)=(0,0)
Em uma parábola só existe um foco, que aqui coincide com a origem (o polo do sistema polar).

Resposta

(a) É uma parábola.
(b) O único foco é (0,0).

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