Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas
é dada por
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede: (a) que identifiquemos o tipo de cônica; (b) que encontremos o(s) foco(s). Para isso precisamos completar quadrados em
e
, passar para a forma padrão e então usar as fórmulas conhecidas para elipse, parábola ou hipérbole.
Passo 2
Vamos completar quadrados separando termos em
e em
:
Factorando os coeficientes de
e
:
Agora cada grupo:
Substituindo de volta:
Distribuindo e somando constantes:
Passo 3
Isolando os quadrados na forma igual a 1:
Como há soma de dois termos quadráticos positivos igual a 1, trata-se de uma elipse. O centro é
. Os denominadores são
e
; o maior deles,
, é
e corresponde ao eixo maior vertical. Assim,
Passo 4
Para elipse, a distância focal
satisfaz
Como
está sob
, o eixo maior é vertical, e os focos ficam no centro deslocados em
por
. Logo os focos são
Resposta
(a) É uma elipse.
(b) Os focos são e
.
(b) Os focos são