Considere a cônica cuja equação geral padrão em coordenadas cartesianas (x, y) é dada por
3 x^2-12 x+2 y^2+8 y+14=0
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
3x^2-12x+2y^2+8y+14=0
e pede: (a) que identifiquemos o tipo de cônica; (b) que encontremos o(s) foco(s). Para isso precisamos completar quadrados em x e y, passar para a forma padrão e então usar as fórmulas conhecidas para elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 2

Vamos completar quadrados separando termos em x e em y:
3x^2-12x ;+;2y^2+8y ;+;14=0
Factorando os coeficientes de x^2 e y^2:
3l(x^2-4xr)+2l(y^2+4yr)+14=0
Agora cada grupo:
x^2-4x = (x-2)^2-4, y^2+4y = (y+2)^2-4
Substituindo de volta:
3l((x-2)^2-4r)+2l((y+2)^2-4r)+14=0
Distribuindo e somando constantes:
3(x-2)^2-12 +2(y+2)^2-8 +14=0 Longrightarrow 3(x-2)^2+2(y+2)^2-6=0

Passo 3

Isolando os quadrados na forma igual a 1:
3(x-2)^2+2(y+2)^2=6 Longrightarrow (x-2)^22 ;+;(y+2)^23=1
Como há soma de dois termos quadráticos positivos igual a 1, trata-se de uma elipse. O centro é (2,-2). Os denominadores são 2 e 3; o maior deles, 3, é a^2 e corresponde ao eixo maior vertical. Assim,
a^2=3, b^2=2

Passo 4

Para elipse, a distância focal c satisfaz
c^2=a^2-b^2=3-2=1 Longrightarrow c=1
Como a^2 está sob (y+2)^2, o eixo maior é vertical, e os focos ficam no centro deslocados em y por pm c. Logo os focos são
(2,;-2+1)=(2,-1), (2,;-2-1)=(2,-3)

Resposta

(a) É uma elipse.
(b) Os focos são (2,-1) e (2,-3).

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