Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços:
(a) F in L(R^3, R^2) definida por F(x, y)=(x+y, y);
(b) F in L(R^3, R^3) definida por F(x, y, z)=(x+y, x, x-y);
(c) F in L(R^4, R^3) definida por F(x, y, z, t)=2 x+y-z+3 t;
(d) F in L(R, R^3) definida por F(x)=(x, 2 x, 3 x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, em cada caso, a matriz de uma transformação linear F em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos. Para isso, vamos usar o procedimento padrão: aplicar F aos vetores da base canônica do domínio e colocar os vetores resultantes como colunas da matriz da transformação.

Passo 2

Para o item (a), temos Fcolon R^3toR^2 dada por
F(x,y,z) = (x+y,;y)
As bases canônicas são e1,e2,e3 em R^3 e f1,f2 em R^2. Calculamos:
F(e1)=F(1,0,0)=(1+0,,0)=(1,0), F(e2)=F(0,1,0)=(0+1,,1)=(1,1), F(e3)=F(0,0,1)=(0+0,,0)=(0,0)
Logo, a matriz de F é a 2times3
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0

Passo 3

Para o item (b), Fcolon R^3toR^3 é
F(x,y,z) = (x+y,;x,;x-y)
Usando a base canônica e1,e2,e3 de R^3:
F(e1)=F(1,0,0)=(1+0,,1,,1)=(1,1,1), F(e2)=F(0,1,0)=(0+1,,0,,-1)=(1,0,-1), F(e3)=F(0,0,1)=(0+0,,0,,0)=(0,0,0)
Assim, a matriz de F é a 3times3
B = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0

Passo 4

No item (c) está indicado Fcolon R^4toR^3 por
F(x,y,z,t)=2x+y-z+3t,
porém essa fórmula produz um escalar, não um vetor em R^3. Não há informação sobre as outras duas componentes em R^3. Se, por outro lado, interpretarmos que Fcolon R^4toR está corretamente definida, então a matriz em relação às bases canônicas é a 1times4
C = 2 & 1 & -1 & 3

Passo 5

Para o item (d), Fcolon RtoR^3 é
F(x) = (x,;2x,;3x)
A base canônica de R é 1 e de R^3 é f1,f2,f3. Como
F(1) = (1,2,3),
a matriz de F é a 3times1
D = 123

Resposta

(a) A=1 & 1 & 00 & 1 & 0
(b) B=1 & 1 & 01 & 0 & 01 & -1 & 0
(c) A fórmula dada só produz um escalar; como F foi apresentada de R^4 em R, a matriz é
C=2 & 1 & -1 & 3
(d) D=123

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