Considere a cônica de equação
x^2+100 y^2+200 y+75=0
(a) Identifique essa cônica (se é elipse, circunferência, parábola, hipérbole ou degenerada);
(b) Quais os focos dessa cônica?

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica de equação
x^2 + 100,y^2 + 200,y + 75 = 0
e pede (a) a identificação do tipo de cônica e (b) os focos, caso seja uma elipse ou hipérbole. Para resolver, vamos completar o quadrado em y, passar a equação para a forma canônica e a partir daí reconhecer o tipo de cônica e, se for elipse, calcular seus focos.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em y. Agrupando os termos em y:
x^2 + 100l(y^2 + 2yr) + 75 = 0
Dentro do parêntese note que y^2+2y = (y+1)^2-1. Logo,
x^2 + 100l((y+1)^2 - 1r) + 75 = 0
x^2 + 100,(y+1)^2 - 100 + 75 = 0
x^2 + 100,(y+1)^2 = 25

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 25, obtemos a forma canônica
x^225 + (y+1)^2tfrac25100 = 1 Longrightarrow x^25^2 + (y+1)^2l(tfrac12r)^2 = 1
Como os denominadores são positivos e distintos, isto é a equação de uma elipse com centro em l(0,-1r), semi-eixo maior a=5 (no eixo x) e semi-eixo menor b=tfrac12 (no eixo y).

Passo 4

Para uma elipse com semi-eixos a e b no sentido horizontal, a distância focal satisfaz
c^2 = a^2 - b^2 = 5^2 - l(tfrac12r)^2 = 25 - tfrac14 = tfrac994,
portanto
c = raiz992 = 3raiz112
Os focos, que ficam sobre a linha do eixo maior (horizontal) a partir do centro l(0,-1r), são
l(c,-1r) e l(-c,-1r) ;Longrightarrow; l(tfrac3raiz112,,-1r) ;e; l(-tfrac3raiz112,,-1r)

Resposta

(a) É uma elipse.
(b) Os focos são
l(tfrac3raiz112,,-1r) e l(-tfrac3raiz112,,-1r)

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